les Mathématiciens leur théorie - les points de jonction avec cette Mathématique .

Le premier venant à l'esprit est immédiatement  David Hilbert , et son plan euclidien .
https://fr.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

Le théorème des bases

Les premiers travaux d'Hilbert sur les fonctions invariantes l'amènent à démontrer en 1888 son théorème des bases. Vingt ans plus tôt, à l'aide d'une méthode de calculs complexe, Paul Gordan démontre le théorème sur la finitude des générateurs des formes binaires. Les tentatives de généraliser sa méthode aux fonctions à plusieurs variables échouent à cause de la complexité des calculs. Hilbert décide d'emprunter une autre voie. Il démontre ainsi le théorème des bases, qui affirme l'existence d'un ensemble fini de générateurs pour les invariants des formes algébriques pour n'importe quel nombre de variables. Il ne construit pas effectivement une telle base ni n'indique de moyen d'en construire. Il prouve l'existence formellement en montrant que rejeter cette existence conduit à une contradiction.
Hilbert envoie ses résultats au Mathematische Annalen. Gordan, l'expert maison sur la théorie des invariants, ne parviendra pas à apprécier la nature révolutionnaire des travaux d'Hilbert. Il rejette l'article, affirmant qu'il est incompréhensible : « C'est de la théologie, pas des mathématiques ! »
Felix Klein, de son côté, reconnaît l'importance du travail et garantit qu'il sera publié sans modification, malgré son amitié pour Gordan. Stimulé par Klein et les commentaires de Gordan, Hilbert, dans un second article, prolonge ses résultats, donnant une estimation sur le degré maximal de l'ensemble minimal des générateurs. Après lecture, Klein lui écrit : « Sans aucun doute, il s'agit du plus important travail sur l'algèbre générale jamais publié par les Annalen



Dans ce texte se résume tout le travail effectué    

Ensuite, Georges Cantor, qui bien que sa théorie soit contestée par cette mathématique n'en est pas moins le mathématicien qui est à l'origine de la recherche entreprise.

Henri-Léon Lebesgue , j'ai souvenir d'avoir lu  des textes ( au moins  vingt ans  de cela )  sur la notion de point , et j'ai fait une rapprochement sorte d'analogie avec : la rotation des duplications  et des intersections produites par la partie limite de chacun des ensembles A et B  ( voir Re: Les Ensembles Pourquoi une différence incomprise mercredi 17 février 2016  14 H 16). Laquelle rotation reproduit l'intersection d'un ensemble primitif complet à chaque passage d'une duplication à une nouvelle qui est une variation  . Mais sur le plan d'une géometrie cela suppose qu'un plan de rotation soit une ensemble plein entre deux variations . Qu'en sorte dans une duplication infinie , il se trouve autant de parties en intersection formant un point euclidien ou ensemble primitif complet que de partie pleine représentative d'un plan infini également complet .

Et , ce que dit Henri-Léon Lebesgue est exactement cela.

Entre autre l’intégrale de Lebesgue , et l’intégrale suivant cette mathématique sont identique . Ce qui fait la différence de cette mathématique , c'est la double dérivation , la dérivé à la fois sur la puissance et sur la variable -1 , permettant une Intégrale de chemin, sans nécessiter l’intégration par morceaux . Soit une suite d’intégrale de Lebesgue.

les Mathématiciens leur théorie - les points de jonction avec cette Mathématique .

 par Admin Hier à 12:59   (David Hilbert )

Re: Les Ensembles Pourquoi une différence incomprise.

 par Admin Hier à 10:49 ( les duplications d'ensembles ayant une intersection).

Poursuivant ici, la construction de l'ensemble des duplications, nous pouvons reprendre l'ensemble initial, en rappelant que la non-superposition de l'ensemble A et de l'ensemble B,  devient l'intersection vide un ensemble primitif complet  ( à ce sujet existe la matérialité que l'ensemble vide possède une limite extérieure, elle est démontrée par la géométrie de la construction du plan suivant cette mathématique ) . C'est la loi de cette mathématique.

De fait , la superposition, de l'ensemble C intersectant l'ensemble A et l'ensemble B, intersecte aussi l'union ou l'intersection des deux . Cette dernière, suivant la loi  de cette mathématique étant un ensemble primitif complet. L'intersection devient aussi intersection de l'ensemble C , qui lui même est un ensemble primitif complet. (Voir la schématisation et la formulation suivant les symboles mathématiques à joindre )

résulte à cela un ensemble nouveau suivant deux cas possibles.

Le premier cas :  l'intersection initiale totalement éliminée, existe entre l'ensemble A et l'ensemble B une limite commune  qui à tout élément de cette partie limite commune de l'ensemble A , fait correspondre un unique élément de la partie limite commune de l'ensemble B.

Ce premier cas ne change pas le développement des duplications suivant la géometrie du plan ou la géometrie de rotation autour de l'ensemble primitif complet C. En effet , le 1/2 ensemble  A et le 1/2 ensemble B de par l'intersection de l'ensemble C forme deux  nouveaux  ensembles ;  un nouvel ensemble constitué de 1/2 ensemble A & conjonction 1 /2 ensemble B.  Et un seconde ensemble séparé par l'ensemble C  :  l'autre 1/2 ensemble A & conjonction 1 /2 ensemble B. (Voir la schématisation et la formulation suivant les symboles mathématiques à joindre )


Le second cas : l'intersection initiale étant maintenue, existe , entre l'ensemble A et l'ensemble B,  une limite séparatrice identique à l'ensemble C ;  dont résulte deux 1/2 ensemble A et deux 1/2 ensemble B . Et dont la séparation est un ensemble primitif complet (Voir la schématisation et la formulation suivant les symboles mathématiques à joindre).

Ce sont les deux seuls cas possible qui rendent invariantes les duplications des ensembles et leur finalité  pour la géométrie du plan infini et la géometrie de la rotation autour de l'axe de l'ensemble C.

Suivant : les ensembles et leur partie extérieur différentiée de leur partie intérieure, suivant la loi de non-superposition des ensembles, est fait que,  l'intersection crée un ensemble primitif complet  pouvant être éliminé par la mise en relation, élément par élément de chacune des parties séparées ; cela  pour créer un ensemble joint de deux 1/2 ensembles. Nous avons divisés en 4 parties chacune des duplications pour deux cas possibles sans qu'il puisse exister d'autres cas.

Suivant l'ensemble des duplications non quantifiées formant l'ensemble infini et formateur d'un ensemble plan infini , autant que que formateur d'un ensemble sphérique ( constitué de multiples parties de plan, ensemble des duplications autour de l'ensemble C pris pour axe ) ;   ou même que formateur d'un ensemble cubique (constitué de multiples parties de plan , ensemble des duplications empilées à partir d'une base commune, l'ensemble  C) ,  chaque duplication étant divisées en 4 parties , nous avons :  un  1/2 ensemble A  qui pour image  le 1/2 ensemble A   , et  un 1/2 ensemble B  qui a pour image le 1/2 ensemble B , (Voir la schématisation et la formulation suivant les symboles mathématiques à joindre ).

Si l'ensemble A est l'image de l'ensemble B,  ce sont 4 fois , 1/2 ensembles à partir de l'ensemble B et de son image l'ensemble A ,  qui sont alors identique. Et, auquel sont toujours deux cas possibles ;  1/2 A en  conjonction de  1/2  B  l'ensemble  A étant  identique à l'ensemble  B .  Le   1/2 ensemble A est une  symétrie de 1/ 2 de ensemble  B .  Dans le premier cas la limite de A étant aussi la limite de B dans un même ensemble A et B,  la symétrie est séparatrice des éléments du même ensemble constitué de deux même parties identiques , (Voir la schématisation et la formulation suivant les symboles mathématiques à joindre ).

Dans le second cas l'ensemble C est séparateur de 1/2 ensemble A et  de 1/2 ensemble B,  la symétrie est alors sur l'ensemble C,  (Voir la schématisation et la formulation suivant les symboles mathématiques à joindre ).

Le modèle qui ressort pour un duplication est celui de deux symétries l'une ayant pour cause l'intersection laissant un ensemble primitif complet,  l'autre la réunion des limites de chaque 1/2 ensemble A & conjonction B .

Si eut été laissé 4 parties suivant deux intersections , chacune des 4 demie partie serait totalement dissociées , et cela ferait de l'infini, un multiple de 4. De fait , un  fini.  En effet,  si l’infini :  sans avoir  introduit le Nombre ( ensemble numéral) pour en donner une définition relative au quantitatif , serait  divisible par 4  ;  alors, l'infini serait divisible par toutes  autres valeurs du nombre. (Voir la schématisation et la formulation suivant les symboles mathématiques à joindre ).

Nous ne pouvons retenir ce cas sans produire une erreur ou incertitude.

Suivant des particularités sur les Ensemble , nous avons pu définir une caractéristique à donner à une symétrie . La symétrie  est :  soit issue d'une réunion d'ensembles , soit issue d'une intersection d'ensembles. Et dans la duplication originale nous avons 4 fois  1/2 ensembles  identiques ,  qui deux  à deux ont une symétrie intersection et une symétrie réunion. L'une et l'autre sont comparables à des axes.

L'image mentale du plan pour en concevoir la figure géométrique, n'est pas évidente , nous allons en faire l'analyse.

La Symétrie sur la réunion est comparable à un axe partageant une continuité. Alors que la Symétrie sur l'intersection est comparable à un axe de rupture de continuité. Or nous avons pour chacun des  4 fois  1/2 Ensemble , une continuité  le & conjonctif  avec une rupture, les deux symétries   reliées au même point d'axe qui est rappelons le  sur l'ensemble C , (Voir la schématisation à joindre ).

Chaque 1/2 ensemble est bordé ( limite extérieure)  soit par le vide de l'ensemble infini dans lequel il est situé, soit il est bordé ( limite extérieure) au vide de l'ensemble primitif complet C , soit il est bordé par un  1/2 autre ensemble  parmi les 4 .  Nous avons cité : 2  fois   1/2 ensembles  ;  nous avons cité : la bordure  limite sur le plan de l'infini , la  bordure limite axe de symétrie entre 2  1/2 ensembles réunis ;  nous avons cité : la bordure  limite sur l'ensemble primitif complet .

A ce niveau de géométrisation, nous ne pouvons encore concevoir une image mentale de la figure géométrique.

Ce qui peut nous aider à sa conception, c'est la rotation autour de l'axe de Symétrie intersection qu'est l'ensemble l'ensemble C . En effet, quelque soit le 1/2 ensemble il est lié à l'axe de symétrie suivant l'intersection . Et quelque soit le 1/2 ensemble il est lié à l'axe de symétrie suivant la réunion.  Or , ces deux axes ont un élément commun qui fait que  : l'axe de Symétrie de la réunion, poursuivi en continuité  donnerait une intersection soit une parti vide .

Dés lors à supposer que 2 fois  1/2 ensembles constitue un seul ensemble , la limite extérieur en serait sur le plan de l'infini , et nous arions alors  : une séparation  à 1/2 symétrie intersection et dans le même axe séparatif 1/ 2 symétrie réunion.

Et cela nous l'aurions deux fois suivant les 2  1 / 2 ensembles restant.

Dés lors les suppositions faites nous avons exécuté les figures géométriques ; et,  nous avons observé : que nous venions de former 2 ensembles identiques (Voir la schématisation et la formulation suivant les symboles mathématiques à joindre ).

Or, notre duplication de base étant à la base unique ;  plus , nous avons défini que les duplications à l'infini ne peuvent être quadruple. Suivant  ces deux figures , elle en seraient double . Aussi les avons nous rendues unique   en les unifiant par superposition l'une au dessus de l'autre, et en jointant les bordures ouverte et réciproques de l'ensemble de dessous à l'ensemble de dessus .

Dés lors, l'image mentale nous est apparue clairement identifiée. En effet, la jonction des 2 ensembles sur leur limite extérieure, bordure réciproque de l'ensemble vide primitif complet , l'ensemble C  que nous avions défini dés le début,  venait de redéfinir en un ensemble unique et unifié  pour une même duplication.

La géometrie, ainsi faite nous montre alors : les ensembles se sont placés d'eux même en quadrature l'un de l'autre, en préservant la loi de superposition, pour ne  former qu'un seul ensemble. Les axes de symétrie étant des axes , le modèle de figure issus de cette mathématique, ne modifie en rien le modèle des duplication à l'infini.
 

Ainsi suivant ce modèle d'Ensemble  et,  les duplications à l'infini nous avons à notre disposition  : six  modèles géométriques de  base . L'espace infini plan - l'espace infini  sphérique volumique et sans axe - l'espace infini sphérique et sans  pôles -  l'espace infini volumique cubique - l'espace infini  tri-Orthogonal - l'espace infini du double repli du plan.

Nous avons utilisé : le postulat d'Euclide sur la définition du point et l'avons complété de la note °5 du premier livre des Éléments.  Nous avons posé comme Postulat : la non-superposition des lignes géométriques et l'avons reporté sur les Ensembles pour en obtenir une théorie complémentaire relative aux limites de bordure de tout ensemble s'appliquant également à l'ensemble vide.

Ce texte serait incomplet si nous ne différencions pas  les deux ensemble unifiés qui résultent de l’étude. Nous pourrions leur attribuer une différenciation de type  inverse , de type binaire , de type signes ... etc

Ainsi les figures géométriques précédemment décrites possèdent une binarité  qui n'est point apparente mais bien réelle formée des deux ensembles.

En effet , pour un même ensemble dupliqué , nous avons :  sur l'axe deux symétries ,  l'une de continuité montante, l'autre de continuité descendante . l'une est une inversion  de continuité par symétrie de réunion , l'autre par symétrie d'intersection ; la réunion des deux symétries est elle même une symétrie. Ce sont deux inversions différentes l'une de repli , l'autre de contre pli toutes les deux en symétrie égalitaire.

Nous avons dés lors, remarqué, que cela représente une double inversion . Une inversion  de type inverse basculement et de type inverse sens .

Nous pouvons attribuer au type inverse sens , la notion de sens positif et la notion de sens négatif . Et nous pouvons attribuer  au type basculement  la notion de complémentarité ,  soit  un objet mathématique  tel que 1   ou 0 son inverse ; ou bien encore,  une variable  (a)  et son inverse  (1/a) .

Double inversion, nous apporte le mouvement sur la théorie des ensembles , cela nous donne l'image mentale , de la transformation d'un ensemble en un autre ensemble et vice versa, à travers les symétries de réunion et les symétries d'intersection issues de leurs parties ou de leurs éléments.

Nous avons lu et non étudié David Hilbert, et dans les lectures que nous avons faites nous avons été influencé par l'esprit de synthèse et l'esprit critique.  Dans la mathématique que nous avons exposé pour sa partie Ensemble contribuant à la construction des espaces géométriques dépourvus de métrique, nous avons vu que notre approche primaire était celle que propose David Hilbert si nous ne prenions pas en compte la théorie de Gorges Cantor ainsi que la théorie d'incomplétude de Kurt Gödel .

En conclusion, suivant la théorie des Ensembles augmentée d'un postulat (*1)  nous avons, défini les symétries suivant une origine et justifié une récursivité par la symétrie des deux symétries opposées. Et avons défini 5 modèles d'espace géométrique dépourvus d'une métrique. La géométrie de la sphère sans l'axe des pôles ou de la géometrie sphérique sans pôles, justifie  la Topologie d'une sphère creuse, ayant un trou entrant et un trou sortant.





 *1 - Nous nous proposerons de démontrer par la suite, suivant la mathématique actuelle et les équations du mouvement planétaire et satellite.

Pour revenir de notre travail aux travaux de David Hilbert , nous devons définir la " métrique " mais également la calculabilité  dans l'infini des ensembles et sous ensembles, dans leurs parties et éléments de leur parties. Calculabilité entre eux , par groupe, sous groupes ou élément simple associés ou dissociés.

Nous le rappelons, dans une autre partie des travaux nous avons établis des conclusions :

Les Ensembles Pourquoi une différence incomprise

Aujourd'hui à 11:50

En conclusion de l'article, suivant un ensemble informe et vide et, la définition du point selon Euclide, suivant la théorie des ensembles par leurs réunions ou leurs intersections  entre eux  et, l’hypothèse d'un ensemble infini,  nous somme parvenu à définir : trois sortes de symétries , deux sortes de récursivités ,  des sous ensembles identiques  et un infini clos fermé mais indéfinissable. D'une part : les ensembles non-quantifiés, d'autre part :  les symétries et super-symétries, ainsi que  le " récursif " et le "super-récursif", nous ont permis de remarquer , que le sous ensemble d'un ensemble est identique à l'ensemble. Qu'en sorte : le sous ensemble est également fermé sur lui même .

Nous avons établi dans les définitions précédentes, l'ensemble des moyens, à la fois pour exprimer toute la mathématique selon Euclide , mais également l’étendre de nouvelles fonctionnalités arithmétiques et géométriques.

En effet, nous pouvons dés lors, définir le quantitatif nécessaire à chaque arithmétique, et le métrique nécessaire à chaque géométrie.

Notre primalité fut de démontrer que notre base de travail sont les travaux d'Euclide . Étude de laquelle s'en est extrait un logique , entièrement définie par la Théorie des Ensembles qui dans ses conséquences conduit à un algorithme récursif sur le sous ensemble, mais également récursif sur l'ensemble. Et nous avons obtenu cela par suite de deux symétries différentiés que l'ajout de l'une et de l'autre, c'est à dire : l'association suivant la même logique de base, en faisait en quelque sorte une super-symétrie. Nous rappelons également que nous avons dans nos articles précédents pu définir, intersection et réunion, d'ensembles sont des modes opératoires additifs non dépendant de quantitatif. Mais nous avons pu établir aussi que les différentes symétries s'ajoutent d'elles même suivant qu'elle sont des parties vides ou non-vides.

L'ajout est additif , et nous avons précédemment vu :  l'intersection, comme la réunion, est additive.

Nous avons précédemment vu également  : l'ensemble infini est symétrique, ayant ajouté les sous ensembles de chacune des symétries nous avons obtenu l’équivalent d'un infini de part et autre des extrêmes. A supposer  que cela représente un chemin , et qu'une partie de la symétrie, l'axe de la symétrie, soit une origine, rejoindre l'une ou l'autre des extrêmes , même celles ci  aboutées , cela  définit , une direction ou son opposée.

Nous dirons des lors, la calculabilité est le moyen logique (suivant une loi) de parcourir une symétrie dans un direction et vers son extrême pour en retrouver la partie. Dans les articles précédents, nous avons défini les symétries récursives.

Notes de l'auteur. Nous ne serions pas parvenu à cette définition, si dans nos travaux préparatoires n'avions pas remarqué l'existence d'une logique du continu totalement basée sur les symétries. Logique contenant son propre modèle de calcul. Les symétries sont génératives indépendamment du Nombre. Il nous est apparu qu'il n’était pas nécessaire de compter pour se déplacer dans une symétrie ou un ensemble de symétries. Nous avons dés lors assimilé cela à des groupes, des sous groupes ou même des éléments , Chiffrés ou non chiffrés ; et, malgré cela calculables. C'est sur cette partie de la mathématique et leurs conséquences sur l'analyse quelle soit : arithmétique, algébrique, géométrique,  que nous poursuivrons la diffusion de nos travaux .

Nous sommes le mercredi 24 février 20016, au matin. La veille au soir avons  lu : Les  Groupes de Lie et le 5eme problème de Hilbert. Un groupe est une ensemble d’éléments munis d'une loi de composition interne noté * et doté de certaines propriétés. Les groupe de Lie en constituent une cas particulier : il s sont " lisses " . C'est à dire que l'application qui à deux éléments du groupe a et b associe a * b est différentiable.

Dans son 5eme problème, Hilbert s’intéresse aux groupes continus, dans lequel on peut passe d'une façon continue d'un élément du groupe à un autre. Lecture faite de cela, après réflexion,  nous n'en avons pas trouvé d'analogie avec nos travaux,  mais nous disons,  c'est exactement cela : une partie de l'ensemble de nos travaux . Partie que nous avons obtenue en exploitant notre outil de base " la division non euclidienne ". Laquelle comme nous en ferons la démonstration par la suite, est à la base des symétries ; ou bien son contraire, les symétries sont à la base de la division non euclidienne.

Nous observons à juste raison, que nos travaux retrouvent régulièrement les problèmes que pose David Hilbert et auquel nous pouvons y répondre pour avoir rencontré cela dans l’étude de cette mathématique différente. Certes nous n'avons pas donné une même dénomination ; mais, la mathématique est avant toutes choses une vue de l'esprit qui se construit non des mots mais des symboles et des figures.

Nous pourrions répondre immédiatement à ce problème sans même utiliser de métrique. En effet la division non euclidienne n'est pas dans l'espace  mais exclusivement dans les symétries et le récursif sur les symétries.

Nous allons donner la réponse du problème que nous avons parfaitement synthétisé, " A quelle conditions minimales un groupe continu est un groupe de Lie .

En mathématiques, un groupe de Lie est un groupe doté d'une structure de variété différentielle, pour laquelle les opérations de groupe — multiplication et inversion — sont différentiables.

 Le différentiable , qu'il soit issu de l'arithmétique, de  l'algèbre ou  de la géométrie, est à la base de nos travaux, lesquels aboutissent à la mathématique objet de ces pages .  Dont l'outil de synthèse est la division non euclidienne. Laquelle est strictement fondée sur une forme différentielle d'ordre (n)  et dont la seule condition que nous avons établi , est la suivant  : La division différentielle d'ordre (n) est finie ( égale à 0) si et exclusivement si, le nombre d’éléments du groupe est supérieur à la puissance à laquelle sont élevés l'un ou tous ses  éléments ;  alors,  le glissement est continu.  En effet , la division non euclidienne  que nous pouvons définir comme "le différentiable" , est totalement indépendante  de toutes variables ou paramètres. Nous avons pu déterminer  sans erreur  : le différentiable est auto constructif de son arithmétique . L'inverse n'est pas possible. Et nous pouvons ajouter à cela pour être totalement complet . Le différentiable est partageable en partie différentiable.

Nous sommes satisfait de cette lecture qui en quelques mots, nous permet de pouvoir, en une définition simple, établir un lien direct avec la mathématique universitaire. En effet , nous pouvons synthétiser cette mathématique en ces simples mots : " La mathématique du différenciable partageable en parties différentiables" . Celle ci, contenant :  son arithmétique, son algébrisation et sa géométrisation. Nous l'avions dénommé " la mathématique du fini expansif " , mais cela semblait incompréhensible à nos Docteurs en Mathématiques .

Maintenant la question que nous nous posons est la suivant : " Devons nous adapter à la mathématique universitaire, rendue compliquée à souhaits par l'ajout de tous les symboles, toutes les définitions et tous les textes de grandes amplitudes démonstratives que chacun des Doctes Mathématiciens par leur contribution ont faite évoluer dans une même direction ( celle ci pouvant être une impasse) . Ou bien, devons nous rester dans la simplicité de nos définitions des lors que nous apportons le formel ?

Nous avons lu, sur les variétés , les invariants, les cartes, les Atlas, ce sont des définitions apportées,  pour adapter des objets mathématiques à des situations déjà existantes formant un tronc commun . Or, ce n'est pas le cas de cette mathématique qui est construite de ses conséquences. C'est en cela que nous la disons déterministe. Nous n'avons pas encore introduit , le métrique ( la mesure ) , la raison nous avons déjà , les symétries et super symétries que nous avons défini avec certitude , issues de l'intersection ou la réunion ou même la réunion de deux  ensembles suivant la Théorie des Ensembles. Théorie révisée , qui rappelons cela : est initiée par un ensemble informe et vide, auquel Euclide  par définition a ajouté le point euclidien ( partie nulle ). Et justifié cela, par : le tout est plus grand que la partie.  Ainsi de l'ensemble informe et vide, l'ajout du point vide et le postulat d'Euclide en font une ensemble vide prenant la forme extérieure du point lui même vide.

S'en suit, le tout premier théorème de cette mathématique : Tous les ensembles y compris l'ensemble vide sont limités par une bordure extérieure. Il n'y a pas d'exception.

En effet, en admettant le vide, séparable ; la bordure limite extérieure du point vide est l'autre partie qui lui est supérieure suivant Euclide ; par réciprocité, cette partie tient pour limite extérieur la partie plus petite : le vide du point . C.Q.F.D.

Nous avons démontré des seuls Éléments qui sont définis par Euclide , toute la Base d'une Théorie naissante.

1er Corollaire : Deux parties d'un même ensemble sont délimitées par une limite en bordure.

En effet, suivant le 1er théorème, les deux parties possèdent une partie commune en limite extérieure.


Ici se pose un dilemme,  celui de la partie vide plus petit que le tout, qui vient border par l’intérieur la plus grande , en raison de la différence .

S'en suit, le second  théorème de cette mathématique : Tous les ensembles y compris l'ensemble vide sont limités par une bordure intérieure. Il n'y a pas d'exception.

En effet selon la théorie des Ensembles qui n'est pas contradictoire : tout ensemble  ( vide ou non vide )  la partie  vide  est inclus dans l'ensemble ;  (  vide n'a pas d’élément il n'est pas possible de trouver  un élément de vide qui ne soit pas dans l'ensemble vide ) ; qu'en sorte quelque soit l'ensemble pour tout ensemble est une partie vide .

Définition de l'ensemble primitif :  L'ensemble primitif, est l'ensemble vide bordé en limite extérieure et intérieure de sa partie vide.

Définition de l'ensemble :  L'ensemble est une collection d’éléments dont le premier est assimilable au point euclidien .

Démonstration

Ensemble infini informe et vide Ø 

Point euclidien ;  = P ( Ø , . ) = partie nulle < { Ø } = { Ø I }

Ajout du point euclidien, le symbole, la barre accolé définit une limite au point , le tout est plus grand que la partie.
  
 l'Ensemble informe et vide = { Ø , Ø } ; ceci est illogique Ø et Ø sont égaux ;  le tout est plus grand que la partie doit être différentié.

L'ensemble infini informe et vide prend forme de par le point euclidien qui devient partie du tout et les limites sont réciproques.

P ( primitif ) = { Ø, IØ , ØI, ØI , I Ø , Ø  }  réduction par suppression de parties identiques

P ( primitif ) = { Ø, IØ , ØI, }  = P ( primitif ) = { Ø, { IØ , ØI }  }  ou encore { Ø, { Ø, { I } } }

{ IØ , ØI } formant les limites d'un ensemble , les limites , sont limites de l'ensemble Ø.

P (primitif ) = { Ø, { Ø  }  }  ou : { Ø, { Ø, { I } } }

Ce sont les deux formes expressives de l'ensemble primitif .

D'où P ( Ø ) = { Ø, { Ø  }  }  = { Ø, { Ø, { I } } }

Ce résultat est totalement conforme au résultat issue de la division non euclidienne. Nous avons pu déterminer par son arithmétique spécifique, trois équations différentes l'une est la somme des deux autres . Nous avons réduit ces trois équations par connaissance des causes et conséquences des synthèses sur l’étude du discret,  et par lequel nous avons rencontré le continu . De par un objet mathématique construit pour le besoin de cette étude, nous avons eu connaissance, que ces équations sur le plan algébrique ou arithmétique spécifique sont les équations du discret et du continu et l'autre équation en est l'intersection. C'est à dire la limite,  l'invariant,  entre le discret et le continu.

Les deux formes expressives de l'ensemble primitif          P ( Ø )   =    { Ø, { Ø  }  }   =    { Ø, { Ø, { I } } }    


par la forme   :   { Ø, { Ø  }  }   montre le continu .

par la forme   :   { Ø, { Ø, { I } } }   montre le discret . En effet , délimiter un ensemble c'est le fixer dans le continu.

C'est lui donner une dimension rapport au continu  dont l'origine l'avons défini , informe et vide :   Ø

Cette mathématique nous a appris que toutes logiques devaient être récursives . Cela n’implique pas une récursivité direct, mais cela implique une récursivité dans un cycle et par inversion.

Pour varier de la forme   { Ø, { Ø  }  }   à  la forme   { Ø, { Ø, { I } } }  , nous devons avoir  deux replis qui sont des inversions.

Nous pouvons observer  si nous éliminons  la partie   P (  Ø ) =  { I }   de     { Ø, { Ø, { I } } }  nous obtenons { Ø, { Ø } }.

Et , l'ensemble   { I }   est bien l'ensemble de réunion des limites extérieures et intérieures sans la partie vide ;  c'est la définition  de la réunion des ensembles.


Si nous y ajoutons , la partie vide , nous  obtenons, par transformation ensemble complet  primitif      { { I }  Ø  } ; c'est la définition de l'intersection des ensembles.


S'en suit, Le troisième théorème de cette mathématique : l' Union des ensembles est la réunion de leurs limites extérieurs et, la réunion d'une partie vide à l'Union est l' Intersection des ensembles.


Corollaire : Deux parties d'ensemble ne peuvent se superposer sans auto-transformer la superposition en un ensemble primitif de par réunion d'une partie vide à là réunion des limites des parties superposées.

En autre lieu nous avons défini  ce que nous désignons par Symétrie.


Dans cette mathématique sont définies deux sortes de symétries,  la Symétrie de position  Sp  et la Symétrie de bascule Sb. Le hasard faisant bien les choses les symboles  p et  b sont significatif  ;  p bascule en b.

soit : q   symétrie de position  p
        d   symétrie de bascule  b   

nous remarquons deux continuités  q - d     &    p - b                  q - d    |      p - b  
.                                                                                       __1____   ___1____
nous remarquons deux ruptures      q - b    &     p - d                 q - b    |       p - d 

nous remarquons une inversion

  
les continuités sont : par  l'endroit et, une orthogonalité , ( l’intérieur de l'angle droit  );

les ruptures  sont : par  l'envers  et, une orthogonalité, ( l’extérieur de l'angle droit ) ;

les symétries de position Sp  sont sur le plan et sur deux droits  soit 180 °  -->    q - d      |    p - b    
 
Les symétries de bascule  Sb sont sur le plan équerré soit 90°  -->           p - b    ____    1   /   p  - d


Nous observons que  lors d'une Symétrie de bascule un seul élément est changeant  alors que sur une Symétrie de position , les deux éléments sont changeants  ; qu'en sorte sur une rotation complète est un retour aux états initiaux .


Existe une troisième Symétrie  désignée Super-symétrie, la double symétrie  autour du point 0 pour axe ;
soit le diagonal    :  Sb --> 0 <-- Sp & Sb

(nous verrons toute la partie : des Nombres, des variables, des fonctions, des géométries, des analyses ...etc pour définir cette mathématique, tourne autour de ces trois Symétries . Par exemple ; l’extension + 1 ;   
 
(  Sb --> 0 <-- Sp & Sb  ) Sp  , en produisant une Symétrie de position sur une Super-symétrie , le 0 produit le décalage  duquel le groupe de symétrie appliqué sur lui même croit de plus 1 ;   puisque la somme terme à terme  des Sb précédente comble le vide du zéro  par au moins 1 élément  ; lequel fait déplacer tous les autres éléments du Groupe ).

Nous ferons remarquer aux lecteurs , ce sont à la base des observations sur des objets mathématiques amenés à terme  de leur fonction d'objet . Duquel terme par inversion ( retour à l'antériorité de l'objet dans sa fonction ) nous avons observé des symétrisations . Et nous avons dés lors recherché la forme mathématique de ce processus. Nous y avons trouvé une logique mathématique. Laquelle logique nous en avons faite la description dans précédentes lignes ci avant.

Dans l'explication  :  Sb --> 0 <-- Sp & Sb  ) Sp  , en produisant une Symétrie de position sur une Super-symétrie , le 0 produit le décalage  duquel le groupe de symétrie appliqué sur lui même croit de plus 1 ;   puisque la somme terme à terme  des Sb précédente comble le vide du zéro  par au moins 1 élément  ; lequel fait déplacer tous les autres éléments du Groupe;

c'est le constat que le repli de deux droits d'une Symétrie de positon sur elle même prenant en compte son point d'axe , que nous avons fait une analogie immédiate avec le mode opératoire multiplicatif sur les nombres ou les variables, par suite du décalage de un par rapport à l'autre de l'un des opérandes . Ce qui donne moyen à un groupe de produire sa propre extension.

Théorème l'extension d'un Groupe : Un Groupe est extensible de 1 à l'infini si et exclusivement, un Symétrie de position est appliquée à  la Super-symétrie de position du groupe et desquelles résultent la double variation : l' extension du Groupe +1 en conjonction d'une extension des chaque élément du Groupe .

Démonstrations  Soit le  groupe de trois éléments [ a, b, c  ]  
la Super-symétrie->  ( la symétrie sur le diagonal)      S_Sp   =  [ a , b ,c | 1 / c , b , a ]    

soit :  la Symétrie de position  Sp   =  [ a , ab , ba, a ]

En effet :  [   a & | =  a   ,  c & b = c+ b  ,   b & c = b+c   ,  0 & a =  0 + a ]  soit 1 élément de  plus .

En effet : [ a , b ,c | 1  /  c , b , a ]  ;       a , b ,  c      et     1  /  c , b , a    ,    sont diagonal .

L'extension ce génère par le récursif :  soit une révolution Complète , Sp 1 -->  Sb1  -->   Sp2  -->  Sb2   , d'un même Groupe   ;   1 80°  +  90°  + 180 °  + 90°   ;    G  Sp1  & G  Sp2  sont  Sb   l'une à l'autre . 

Definition. les Symétries sont des objets mathématiques ayant une loi de composition qui appliquée sur les éléments d'un groupe en modifient l'ordinal et le cardinal du groupe suivant un état antérieur. La symétrie est une transformation .

Ainsi suivant la logique des symétries  et le préalable de l'ensemble défini primitif , nous pouvons construire un Ensemble Expansif.  En effet, de par les symétries nous savons faire évoluer l'ensemble des éléments par + 1 ainsi que, et comme nous l'avons défini , l’élément du Groupe varie des conséquences du repli d'une Super-symétrie sur elle même. Nous pourrions avoir pour analogie : le génératif du dédoublement interne à une enveloppe par une bi-polarité de tout ce qui compose l'élément ; par exemple : variation  et sens de variation ---->  + a   , - b  |  + b  , - a  pour une  Sp  de [ +a, -b  ]  ; et   en suivant    ,     1/ +b     1/- a  ; pour une symétrie  Sb. 
Nous observerons  [ +a  ,  -b ]  et [  1/+ b  , 1/ -a ]  sont bien en  Symétrie diagonale [ +a  ,  -b ]     1 /  [ +a  ,  -b ]  nous sommes sur l'inverse.

admettons que nous procédions en suivant à une symétrie de position de  1 /  [+a  ,  - b ] nous obtenons  1 /  [ -a  ,  + b] ;   la seconde symétrie en diagonale ;     1 /  [ -a  ,  + b]   à    [ +a  ,  -b ]  nous somme sur l'inverse de l'inverse ,  sb de 1 /  [ -a  ,  + b] --> [ +a , -b ] ; nous somme bien retourné  au point de départ  du groupe [ +a  ,  -b ] .

Actuellement tout nous porte à penser que ce trouve une faille importante dans la théorie de Bernhard Riemann. Suivant les travaux de ce Mathématicien dont la finalité porte sur les continuités, avec pour outils spécifiques construits, les surfaces de Bernhard  Riemann ;  lesquelles, sont schématisées par deux disques fendus au même rayon, superposés et raccordés suivant une intersection en croisement des parties opposées en vis à vis. Telle est la description que nous en faisons à la suite des diverses lectures des auteurs et mathématiciens ayant étudié en détail la Théorie.

la surface totale des disques n'est pas mesurable avec précision . En effet , les fentes des disques même sur le zéro, traversent le zéro par croisement et raccordement des disques. Cela implique une dimension géométrique au zéro qui n'en possède pas. Dimension pouvant être définie par la diminution minimum et réelle sur la circonférence) ; nous donnons, cette dimension infime, égale à une unité, que le raccordement par partie en vis à vis croisée, porte à unité multipliée par Racine de deux.

La circonférence passant en tout point du rayon est modifiée. Ou bien cela en modifierait la constante Pi qui ne peut changer ou bien  la circonférence de cercle développée sur deux Pi . De la sorte, le sujet de l’étude faite par Bernhard Riemann , un point Z complexe et son image Z'  située à 2 Pi n'est pas totalement superposable.

La variation bien que infime n'en est pas moins parfaitement mesurable. En effet, elle est fonction du nombre de tours (k) , multiples de l'unité infime, elle même, multiple de (Racine de 2 -1) .
la puissance  des Nombres complexes est fonction  de :  2 k Pi .

Après étude de la théorie de Bernhard  Riemann nous savons à présent que notre théorie s'en approche, sans la création de l'incertitude précédemment relevée. Nous nous sommes inspiré de l'excellent site ; http://serge.mehl.free.fr/anx/surface_R.html
pour montrer le point crucial par lequel diverge toute notre théorie.

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Si nous modifions  le trait bleu en trait blanc  ( ligne de coupure) , nous recréons la ligne de coupure au deux demi axes positifs ;  l'origine, le point O est un point vide (euclidien). Les bords en vis avis de part et autre de la coupure sont connectés en continuité d'un plan par l'autre. Qu'en sorte , il ne ce trouve aucune intersection des plans entre eux. Ceux ci sont dans la même continuité.  Et, de Z , pour retrouver Z' son image exacte,  le chemin passe dans le plan C1 sur une première partie, puis s'inverse  et, passe par dessous C2  sur  ( 2 Pi ), revient au plan C1 et, au point en  Z' après après avoir achevé la seconde partie du plan C1 ; soit un total effectué  de  4 Pi . D'une part cela en ayant contourné la ligne des zéros  et,  d'autre part, sans modification de la circonférence des cercles aussi infime serait elle. Soit le formel dans l'absolu.

Et aussi grand que pourrait être k dans la l'expres​sion(2 k Pi) toutes les images de Z ', Z ''  ..... etc , restent identiques.

Nous avons fait application du théorème des superpositions suivant cette théorie (encore méconnue) , transformant toutes superpositions en un ensemble vide primitif complet.

Nous verrons, que cela apporte à la figure ci dessus des propriétés nouvelles. Notamment, par symétrie, sa transformation en Cercle Trigonométrique en gardant toutes les propriétés de la Trigonométrie dans le plan euclidien et les plans complexes . En effet, verrons comment y associer : sinus , cosinus , puissances et factorielles, ainsi que les puissances de 2 et les combinatoires. Nous verrons également comment associer à cette figure une infinité de feuillets identiques et comment de l'ensemble se construit un volume sphérique. Suivant lequel, la théorie impose l'absence de pôles à toutes les surfaces sphériques qui en font la composition. In fine nous verrons se construire , le Nombre Univers que nous avons dénommé " Nombre Pi" même si sa forme composée est polynomiale. En effet,  Nous avons défini un Nombre fini  dont les sous multiples sont des diviseurs entiers de Pi, et les multiples, des parties d'entiers.

La Topologie qui résulte : une enveloppe ayant un trou en entrée et un trou en sortie.

Suivant l'explication donné ci avant, nous avons pu voir que pour une même image de Z , nous pouvons obtenir soit le point de centre inclus dans la boucle, soit un point de centre exclus de la boucle cela par contournement de celui ci. Nous verrons que le particularisme du Nombre Univers Pi associé aux différentes symétries de position de bascule ou même super-symétrie ( la composante, l’association des deux symétries), nous permettra de définir sur l'envers du plan complexe C1, cela directement en opposition de Z un Z' équivalent au Z' de la théorie de Bernhard Riemann suivant l'explication donnée en préliminaire. Qu'en sorte sans autre artifice que définir C'1 envers de C1 équivalent au plan C2 et C'2 l'envers de C2, notre théorie inclus dans son modèle la théories de Bernhard Riemann.

Pourrait-on dire, ce que nous présentons "nouvelle théorie" serait il un complément aux Surfaces de Bernhard Riemann ?

- Oui !  nous y retrouvons toutes les interrogations que pose la théorie de Bernhard Riemann,

- Non ! cette nouvelle théorie n'est pas complémentaire,  in fine cela ne correspond plus à la même topologie.

Dans ces deux réponses nous avons tout le dilemme qui apparait avec la mathématique :  l'incertitude du choix.

Le Nombre Univers Pi, de par sa composante 2^n en association au Combinatoire lui même composante fractionnée de Pi /2,  nous autorise à la formulation ci après : chaque état binaire d'un mot binaire à définir, est la représentation unique d'un sous multiple du Nombre Univers Pi en sa définition : multiple sous sous multiple.  



De la sorte, le Nombre Univers Pi est un Nombre Universel.

Cela fait plusieurs jours que nous nous efforçons à calquer cette théorie mathématique sur les théories existantes pour apporter aux mathématiciens les explication nécessaires à leur compréhension.

Nous avons construit la théorie au fur et à mesure de l'avancé de résultat sur la base exclusive de notre recherche en partant d'un fondement;  et, de cause à effet conséquent, l'avons fait évoluer jusqu'à la découverte que nous surpassions les théories usitées à ce jours avec l'enseignement mathématique des Collèges Lycées et Universités.

Cette théorie mathématique dépasse la notion de Nombre qui devient secondaire, pour ne retenir que l'Ensemble auquel ils sont inclus. Nous pourrions désigner cela par " Nombre muet ".

A la suite de l’étude des textes relatifs aux éléments d’Euclide, nous avons extrait d'un même ensemble, des ensembles soustractifs (par intersection) et des ensembles additifs (par jonction et réunion). Lesquels ensembles ont donné plusieurs formes schématisée desquelles ressortent les différentes symétries, objets de nos précédentes explications.

Nous reviendrions par la suite, au comparatif de la théorie avec la Théorie des Surfaces de Bernhard Riemann. L'explication ne peut être compréhensible qu'une fois exposé au principal : la définition de l'outil " variation différentielle d'ordre (n) " et " l'Exponentielle X " dont nous verrons qu'elle inclus dans ses parties, l’exponentielle (x) en la subdivisant en deux sous ensembles distincts.

Le schéma qui en résulte ne nécessite aucune explication pour sa compréhension.  Nous disposons de trois axes, suivant trois modèles de variations et deux sens, différents . Soit trois axes, ayant chacun son modèle de variation suivant deux sens. 


Telle est la base de cette mathématique avec laquelle seront construit l'un après l'autre ,tous les moyens, de calculs arithmétiques, Géométriques et analytiques que nous rencontrons avec les mathématiques de l'enseignement actuel.

Nous avons écrit :" Le schéma qui en résulte ne nécessite aucune explication pour sa compréhension.  Nous disposons de trois axes, suivant trois modèles de variations et deux sens, différents . Soit trois axes, ayant chacun son modèle de variation suivant deux sens. "

Trois modèle de variations. Un modèle itératif, un modèle multiplicatif, un modèle additif. Le contre modèle à chacun étant alors : un contre modèle récursif , un contre modèle séparatif ,un conte modèle soustractif.

 
Le modèle additif et son inverse contre modèle soustractif sont liés aux ensembles suivant ce que nous avons nommé avec les termes "Intersection " et " Union ". Nous reste à définir : l'itératif et le récursif. Or , ayant donné comme premier moyen de comparaison aux ensembles , l'intersection et l'union , Nous allons définir " l'Itératif " comme la variation  directe de l'objet sur l'objet, d'une action productrice de l'intersection ou de la réunion entre ensembles ou parties d'ensembles ; et, son inverse le contre modèle "  Récursif  " nous le définirons,  l'action de retour avant l'action.


Le modèle " Multiplicatif " nous le définirons  comme la variation de l'objet depuis une origine, d'une action productrice d'intersections ou de réunions sur l'ensemble ou les parties d'ensemble. Son inverse le contre modèle " Séparatif " étant l'action de retour avant la ou les actions.


Suivant ces définitions , nous remarquerons ," l’Itératif " avec  le " Récursif " et le  "Multiplicatif"  avec le  " Séparatif ", contiennent dans leurs définitions " l'Additif " avec le " Soustractif " , de par leur point commun avec : les intersections ou les réunions des ensembles.
S'en suit à cela :

" l’Itératif " est lié à l'additif et au " Soustractif " , tout comme son inverse le "Récursif" est également lié au "Soustractif " et à " l'Additif ".  Ainsi que :

le  "Multiplicatif "  est pareillement lié au "Soustractif " et à " l'Additif "   tout comme son inverse le " Séparatif ".

Nous remarquons, d'une part, tous moyens définis pour cette mathématique sont liés à " l'Additif " et au " Soustractif " qui sont eux même liés aux Ensembles par l'Union ou l'Intersection. et , d'autre part nous remarquons que ce trouve lié aux Ensembles, un ensemble vide  (voir la construction de l'ensemble complet vide , suivant les causes et conséquences de l'axiomatisation des éléments d'Euclide et les théorèmes conséquents définis par cette mathématique).

L'ensemble vide étant à présent relié aux trois modèles de variations, nous pouvons admettre l'ensemble vide, le point initial d'ensemble de variations suivant chacun des trois modèles et de leurs inverses que nous avons défini en liminaire.  Soit , 6 modèles de variations, tous reliés à l'ensemble vide  complet , le point euclidien,  préalablement défini en préliminaire.

Nous avons défini chaque modèle de variation et son inverse.  Le modèle de variation et son  inverse sont tous les deux liés par inversion. Toutefois étant liés aussi par l'ensemble vide , nous pouvons admettre un ensemble vide comme origine des variations et disposer en primitif  à toutes variations l'ensemble vide complet, le point euclidien. (Nous rappelons la démonstration donnée pour l'ensemble vide complet ).

Dés lors au primitif des variations nous disposons, d'un point euclidien, entre : trois modèles de variations :  l'Additif ,  l'Itératif , le Multiplicatif ; et, leurs inverses : le Soustractif , le Récursif , le Séparatif . Et cela suivant trois lignes directives différentes ;
- L'Axe Additif  et Soustractif ,
- L'Axe Itératif et Récursif ,
- L'Axe Multiplicatif et Séparatif .

Et dés lors que nous avons défini des variations depuis une origine, dés lors que nous avons défini trois lignes directives par des axes, nous devons définir un sens directionnel sur chacune des axes.
-De l' Additif  vers le  Soustractif , les symboles de la variation  (-)    et  (+)
-De l'Itératif vers Récursif  , les symbole de la variation  (-)   et  (+) u
-Du  Multiplicatif vers le Séparatif , les symbole de la variation  (-)  et  (+)

Ainsi et pour les besoins de cette mathématique nous avons orienté les divers sens de la variation.

Nous savons que l'additif et le soustractif et les sens de variations sont inclus aux trois modèles de variations et leurs inverses.
Et nous avons défini la différence entre le modèle de variation " Itératif  " et le modèle de variation " Multiplicatif " comme étant pour l'Itératif , la variation directe de l’objet mathématique par lui même , à contrario, pour le Multiplicatif,  comme étant la variation directe de l'objet mathématique depuis son origine. Ce qui inclus l'Itératif dans le Multiplicatif.  En effet , l'objet mathématique depuis son origine inclus l'objet mathématique ce qu'il est et ce qu'il a été : dans les variations précédentes.

Dés lors et pour cause essentielle de trois modèles de variations ayant en commun des modèles de variations réciproques. Nous pouvons définir des couples de modèles de variations . Et, suivant lesquels, les modèles de variations, auront entre eux, différents rapports, dont un qui est au fondement de cette mathématique, la transformation, d'un modèle de variations en un autre modèle de variations. Nous définirons cette transformation " Isotrope " , pour raison que :  quelque soit le sens de la transformation de l'un des modèles de variations en l'autre,  chacun des modèles de variations, transformés, retrouve son état initial à l'identique.

Nous avons établi la base de cette mathématique suivant des définitions précises. Et  allons pouvoir démontrer que les trois axes orientés centré sur un point euclidien, pris deux à deux et ensemble forment, des couples qui sont identifiés avec les mathématiques de l'enseignement actuel, comme étant des propriétés , Arithmétiques, Géométriques et Analytiques.

En effet :
- Le couple  Additif  Soustractif en rapport avec le couple  Itératif et Récursif , nous pouvons l'assimiler au  couple :   Nombre / Puissance des Nombres
ou bien encore , Variables / Puissances de Variables ;
- Le couple Additif  Soustractif en rapport avec le couple Multiplicatif et Séparatif, nous pouvons l'assimiler au  couple :   Nombre / Factorielle des Nombres ou bien encore , Variables / Factoriel de Variables ;
- Le couple Itératif et Récursif en rapport avec le couple Multiplicatif et Séparatif nous pouvons l'assimiler au  couple :    Puissance des Nombres  / Factorielle des Nombres ou bien encore ,  Puissance des Variables / Factoriel de Variables.

Or , Puissance de Nombres et Factoriel de variables cela est défini , comme étant le Combinatoire des Nombres ou des variables.

Dés lors que nous avons défini tout le fondement de cette mathématique sur la base de définitions et de leur comparatif à la mathématique de l'enseignement actuel.  Nous pouvons remarquer qu'il n'est pas sans raison d'avoir trouvé une relation d'analyse dans l'expression de l’équation des Surfaces définies par Bernhard Riemann.  En effet : puissances, factorielles , nombres et variables, sont les éléments essentiels à l'équation de Bernhard Riemann, cette mathématique en établi une synthèse et, défini trois axes reliant deux à deux chacun des éléments, cela suivant un modèle de variations défini pour chacun.

Sans même avoir utilisé la notion de Nombre ou même la notion de Variable,  sur le seul critère de variation et de transformation d'objet mathématique en un autre objet suivant 6 modèles différents nous avons défini une mathématique reliant , Nombres Variables et combinatoires dans un même espace constitué de trois axes orientés et liés deux à deux. 

Qu'en sorte, chacun des trois axes est représentatif d'une variation suivant un modèle unique et parfaitement défini.  Il résulte de cela : chaque variation possède ses images, suivant le modèle de variation de l'axe sur lequel elle est analysée, et donné Axe de Référence. En effet, avec chaque couple formé de modèle de variation, est un   modèle restant.  Étant donné que les trois images sur chacun des trois axes sont en rapport deux à deux , l'image non comprise au couple formé, est une image qui à elle seule est représentative des deux autres de par les relations existantes et définies entre chacun des modèles de variations. Nous pouvons établir avec certitude que pour un couple d'axe donné, le troisième est l'Axe Référentiel au couple.


Théorème : Tout objet mathématique constitué d'au moins une variation, en plus de la représentation sur l'axe de sa dimension, possède une image sur chacun des autres axes.

Corollaire : La représentation d'un objet mathématique, sur l'un des axes rapport au deux autres, est le Constant Référentiel.


S'en suit à cela , cette mathématique construit, un espace mathématique, défini suivant trois axes, dont les dimensions unitaires (qui montre l'unité de l'axe) sont elle mêmes définies suivant 6 modèles de variations. Duquel espace mathématique, est défini pour origine principale : un point euclidien (espace vide) et, pour origine secondaire : un Constant Référentiel ; sont définis trois axes suivant trois modèles de variations différents couplés deux à deux.

Pour justifier cette mathématique, nous ferons les démonstrations des rapports mathématiques ( Arithmétique, Géométrique, Algébrique, Analytique, Combinatoires... etc )  entre chacun des modèles de variations que nous avons défini ;  ainsi que, nous définirons les lois des transformations continues, des modèles de variations entre eux, l'un rapport au cinq autres.

Ayant en préalable défini la Variation, étant : la différence entre deux grandeurs mesurables rapport à un Référentiel ou une même Origine.

Le Mathématicien lecteur de cette recherche fondamentale aura compris, que l'espace que nous avons construit, ne nécessite pas l’utilisation du vocabulaire spécifique à la mathématique enseignée, autrement que lors des comparaisons que nous aurions à faire ou lors de la transformation de cette mathématique avec la mathématique de l'enseignement actuel.

Suivant les écritures ci dessus nous avons fait une réduction de l’Espace à six modèles de variations différents,  un point euclidien (vide ), et au moins un Constant Référentiel.  Nous avions jusque à ce jour nommé cet espace : l'espace tri-orthogonal, cela rapport à sa forme. Toutefois conséquemment à l'analyse qui en a été faite, nous pouvons le définir et le caractériser de termes significatifs plus précis dans sa dénomination.  " Espace des trois Variations ". Bien nous les ayons définies suivant 6 modèles de variations ; celles ci, sont mathématiquement réductible à trois de par le symbole des inverses.

Nous devons définir à chacune des trois variations un symbole caractérisant. Pour cela nous utiliserons, leur mode spécifique de variation, celui là même défini en préliminaire. Soit  la forme de variation que nous retrouvons sur un même axe ou même modèle de variation.
Delta (u) pour variation de l'axe Additif - Soustractif , delta (v) pour variation de l'axe  Itératif - Récursif , delta (w) pour l'axe Multiplicatif - Séparatif.   Soit encore : delta (u) la variation simple du Nombre ou de la variable , delta (v) pour la variation de la puissance du Nombre ou de la variable ,  delta (w) la variation du factoriel du Nombre ou de la variable. Et,  (1/ delta (u) , (1/ delta (v) , (1/ delta (w) , les inverses qui sont liés à chacun des axes évoqués.

De la sorte nous pouvons à présent établir, les liens relationnels entre la différents symboles de variations. Ceci, sachant que  nous avons défini en préalable nous pouvons trouver entre  delta (u) et (1/ delta (u) : soit un continuité, soit une rupture. Cela en raison qu'un point euclidien peut être situé entre le modèle de variation et son inverse ou bien en deçà ou au delà. Il en est de même pour chacun des axes, des modèles de variations et inverses.

Ainsi nous pouvons définir :
delta (u) rapport à delta (v) et delta (w) ,
delta (v) rapport à delta (u) et delta (w) ,
delta (w) rapport à delta (u) et delta (v) .

De même avec leurs inverses . Ce qui avec les inverses, au total font 24 combinaisons de rapports possibles, soit 24 couples d'axes.  Soit encore 24 plans de définition d'une image. Lesquels plans suivant l’arithmétique, décomposant le chiffre 24 , sont : (3 ^1)  x  (2 ^3)  ;  soit encore : 3 fois un  Espace des trois Variations tel que nous l'avons défini .

Actuellement nous ne pouvons qu'en faire la supposition :  l'Espace des trois Variations est un modèle récursif à  lui même, en raison des conséquences liées aux couples de rapports qu'il engendre sur lui même .

A présent que nous avons défini l'Espace trois Variations suivant trois axes , une origine  et au moins un Constant Référentiel  ce dernier étant la conséquence de 1 cas parmi les 24 cas possibles.  Nous devons déterminer la valeur unitaire de la variation, c'est à dire donner ou définir avec exactitude une unité mesurable pour chaque axe . Qu'en sorte et de conséquence, toutes variations sont des objets mathématiques mesurables ou comparables entre eux cela rapport aux liens relationnels établis en préliminaire.

Nous remarquerons : cet Espace trois Variations contient une Origine plus un Constant Référentiel rapport au couple prédéterminé d'axe de modèles de Variations. Dés lors, nous pouvons admettre que toutes Variations dans cet Espaces possède deux  référentiels . Un référentiel interne au couple d'axes : le Constant  Référentiel ; et, un référentiel  externe au couple d'axes, l'Origine de l'Axe du troisième modèle de variation.

Nous pouvons définir le couple d'axes des modèles de variations est toujours de mesure relative rapport au modèle de variation du troisième axe. De conséquence : Il existe une relation mathématique entre le couple d'axes et le constant référentiel .  Le Constant référentiel contient au moins une unité mesurable de chacun des axes du couple. Et réciproquement, l’unité mesurable de chacun des axes du couple, contient au moins une unité en rapport au Constant Référentiel.

Nous verrons par la suite, l'Espace des trois Variations, est un espace dont les trois variations préalablement définies font que de variations en variations cet espace se referme sur lui même, aboutissant à une variation nulle , c'est à dire à la non variation alors même qu'il est constitué de variations.

Cela Tendrait à soutenir que,  la somme ou le produit de :

delta (u) rapport à delta (v) et delta (w) ,
delta (v) rapport à delta (u) et delta (w) ,
delta (w) rapport à delta (u) et delta (v)

Et cela pour les 24 possibilités

au terme de plusieurs variations de variations  = zéro.

Nous avons défini l'Espace, nous avons défini les Axes, les modèles de variations ; nous avons défini les repères, celui d'Origine et tous les repère relatifs possibles. Nous avons défini la variation et les variations . Nous devons établir la logique relative aux variations sans l'utilisation de grandeurs autre que rapport à l’unité relative.

En effet une variation ne possède pas d'autre unité de grandeur que celle dont ce calcule la différence, qui en fait la variation.   

Nous analysons les variations du modèle de variation  Additif -Soustractif .

soit  delta1  (u) = a et delta2  (u) = a +  ;    ( a +)  - (a )   la  variation   a+ > a   est positive . Si nous posons  0 entre  delta1  (u)  et delta2  (u) , cela donne  : a+ < 0 > a   nous  n'obtenons aucun changement.

Soit l'inverse  delta1  (u) = a et delta2  (u) = a - ;   ( a +)  - (a )   la  variation   a- < a   est positive . Si nous posons  0 entre  delta1  (u)  et delta2  (u) , cela donne  : a < 0 > a -    nous  n'obtenons aucun changement.

Nous analysons les variations du modèle de variation Itératif  - Récursif

Soit delta1  (v) =  a x a   et delta2  (v) = a x a x a ;   ( a ^ ++)  - (a^+  )   la  variation  ( a^++ (a-1)) >  a^++   est positive . Si nous posons  0 entre  delta1  (v)  et delta2  (u) , cela donne  : a^++ ( a-1)  > 0  >  a^++  qui s'inverse  et devient  1/ a^++ ou  a^-- ( nous avons une symétrie de bascule ) . En effet , une même variation ne peut pas passer par 0, sans devenir nulle . La variation s'inverse d'elle même, c'est la continuité des variations. 

A cet effet nous pouvons observer que du calcul mathématique, Arithmétique, Géométrique , Analytique , a^1  a ^0,  a^ -1  , sont dans la même continuité   :       a^1   ,   a^0 =1   ,   1/ a^1  . 

Cette continuité disparait  lorsque nous posons un signe différent  devant   - a^1   , et  un signe  +  pour  a ^-1  ou  inverse ; en effet par l'inversion des signes nous reposons une nouvelle Origine qui dés lors produit une rupture de continuité (en créant une symétrie de positions) laquelle est inductive d'une variation plus grande dans la continuité ( sous unique condition ) que nous verrons par la suite : que soient combinés en transformation réciproque les delta (v) et delta (w) de chacun des axes.

Nous analysons les variations du modèle de variation Multiplicatif  - Séparatif

soit  delta1  (w = a et delta2  (w) = a (a+)  ;   a ( a +)  - (a )   la  variation  a  ( a + -1)  > a   est positive . Si nous posons  0 entre  delta1  (w)  et delta2  (w) , cela donne  : a (a+ -1 )>  0 > a   nous n'obtenons  0 > a soit   1 / a   ; a qui s'inverse . Comme précédemment nous ne trouvons pas la continuité des lors que la variation passe par (0) nul . Or de même que précédemment; passant par (0) une variation devient nulle . Nous somme alors dans la réciprocité du cas précédent : que soient combinés en transformation réciproque les delta (w) et delta (v) de chacun des axes du couple modèle de variation Itératif - Récursif  et Multiplicatif -Séparatif .

La géométrisation de cet Espace des trois variations est de forme trièdre, de par les couples axes modèle de variation, donnés, et possédant une Origine commune et un Constant Référentiel par couple d'axe. Nous devons poursuivre notre analyse pour les cas :

delta (u) rapport à delta (v) et delta (w) ,
delta (v) rapport à delta (u) et delta (w) ,
delta (w) rapport à delta (u) et delta (v) .

La forme trièdre possédant une Origine nous pouvons l'orienter. Cela d'autant plus, que chaque modèle de variation défini sur chaque axe possède son inverse qui ensemble sont séparable  par le 0  suivant des conséquences de continuité de variation ou de rupture par suite de variation nulle.

Ainsi, ayant défini un zéro au médian des modèles de variation et de leur inverse ;  nous donnons  à l'Espace des trois  variations un point d'Origine et de conséquence sa géométrisation.  En effet , les  modèles de variation portés par chacun des axes sont dés lors orientés.

Nous avons défini la géométrisations de L'Espace des trois variations, nous lui avons défini ses modèles de variations, nous avons défini une orientation à ces modèles de variation et à leurs inverse réciproque. Nous devons définir les relations  relations mathématique arithmétique, géométrique , algébrique , analytique pour chacun des couples : delta (v) et delta (w) ,  delta (u) et delta (w) , delta (u) et delta (v)  .....et leur variante orienté . En effet , le trièdre orienté se transforme en 8 trièdres suivant la combinaison des orientation par les signes.

Ainsi nous avons donné à l'Espace des trois  variation, une forme tridimensionnelle, suivant des axes  : delta (u , - u ) ; delta (v , - v) ;  delta (w , -w)  ; et, nous avons défini pour chacun d'entre eux : son unité de variation  :
- pour l'axe delta (u , - u ) : la variation simple  ( a+ , a-) ;
- pour  l'axe delta (v , - v) : la variation puissance  ( a^+ , a^-)  ;
- pour l'axe delta (w , -w) :  la variation factorielle ( a + ! ,  (a - ) ! .

Nous pourrons définir l’Espace des variation complet une fois déterminé la relation géométrique de chacune des variations en trièdre orienté , pour  delta ( u  ,  v  , w ), soit  : ( + u , - v ,  + w) ;  ( - u , - v ,  + w) ; ( - u , - v ,  - w) ; ( + u , - v ,  - w) ; ( + u , + v ,  - w) ;  ( +u , + v ,  + w) ;  ( - u , + v ,  + w) ;  ( - u , + v ,  + w) .

Nous avons défini des couples d'axes , et  avons défini  un Constant Révérenciel. Nous remarquons dés lors au trièdre ,
 le couple delta  ( - v ,  + w)  à pour Constant  Référentiel  l'axe delta (+ - u) 
 le couple delta  (+ v ,  - w)  à pour Constant  Référentiel  l'axe delta  (+ - u)  .

Dé lors nous pouvons définir  delta ( - v ,  + w  ; - v ,  - w  ; +  v ,  + w  ;  +  v ,  - w  ) un plan référencé  par delta ( + - u ) qui en est le Constant Référentiel. Nous remarquerons  : le choix delta (  +- u)  Constant Référentiel,  donne un avantage arithmétique , delta (+- u) est une variation simple. Qu'en sorte dans tous calculs , arithmétiques , géométriques , algébriques, analytiques, c'est le terme opérateur simple.

Et remarquerons des lors que l'Espace des trois variation est défini complet ; et, pour raison qu'en préalable nous avons des images à chacune de variations,  en analysant   seulement le plan ( - v ,  + w  ; - v ,  - w  ; +  v ,  + w  ;  +  v ,  - w  )  référencé  par delta ( + - u ), nous pourrons déterminer les deux autre plans référencé par delta ( + - v ) et delta ( + - w);  et définirons ainsi l'Espace des trois variation , complet et clôt .

Dés lors nous pouvons admettre à l'analyse un plan formé de l'ensemble des variations delta ( - v ,  + w  ; - v ,  - w  ; +  v ,  + w  ;  +  v ,  - w  ) ; et, ayant une Origine centre sur l'axe des variations delta (+-u), dont nous avons en préalable défini  un zéro au médian du modèle de variation et de son inverse ;  soit : ( delta + u , 0 , delta -u).  Dé lors nous avons défini la géometrie d'un plan axé :  formé des variations, delta  ( - v ,  + w  ; - v ,  - w  ; +  v ,  + w  ;  +  v ,  - w  ) et la géometrie d'un axe de variation ; et ,  dont chaque variation  simple  est le Constant Référentiel à chacune des  variations du plan .

Ainsi de par les seules variations combinée des modèles de variation, nous avons défini : un plan de variations , lié à un chemin de variations.

Théorème :  Si trois variations  ( delta ( u), delta ( v), delta (w) ) sont liées entre elles par une relation mathématique ; deux à deux les variations ont pour Contant Référentiel : la troisième.

Dés lors nous devons analyser le plan ( - v ,  + w  ; - v ,  - w  ; +  v ,  + w  ;  +  v ,  - w  ) dans la relation mathématique des modèles de variation de l'axe de variation des puissances , rapport aux modèles de variation de l'axe des variations factorielles.

Ainsi nous aurons : les rapports :  delta  (-v) /  delta (+w )   ;   delta  (-v) /  delta (- w )   ;   delta  (+v)  /  delta (+w )   ;   delta  (+v) /  delta (-w ). Et avons défini :
(-v) est un exposant ce qui donne:   delta  (1 /v)   rapport au factoriel  delta (w)   ; delta  (  1/v) rapport au factoriel  delta (- w )   ; 
delta  ( v) rapport au factoriel  delta ( +w )  ;  delta  (v)  rapport au factoriel delta (-w ).   Soit ,  un même  plan de variations, partitionné en 4  rapports, que nous pouvons redéfinir,  suivant une explication simple :  le rapport des variations  ,  Puissances / Factorielles quelque soit le signe des variations  Puissance ou des variations Factorielles.

Et, des lors que nous avons  pour Constant Référentiel au plan la variation simple  delta (+- u) ,  nous avons obtenus  : pour toutes variations delta (u) sur l'axe de son modèle de variation, nous avons dans le même rapport, une variations de la Puissance / une variation de la Factorielle : soit    (( delta (u) ) ^ delta (v)) / delta (w) .

Soit encore :  la forme exponentielle d'une variation si et exclusivement si delta (v) et delta (w) , sont du même ordre.  nous dirons du même ordinal .

Ainsi et du seul Espace des trois variations défini en préalable dans le modèle de variation pris pour unité de ses axes , nous avons défini un plan de variation qui inclus dans ses parties l'exponentielle (x) . en effet,  la variation , est différente de 0 et  et les variations sur l'axe sont infinies

Théorème :  Si de trois variations ( delta ( u), delta ( v), delta (w) ), deux, sont liées entre elles par une relation mathématique dans le rapport Puissance / Factorielle et la troisième défini entre 0 et l'infini, cette dernière est l'exponentielle de la variation .

Corollaire :  Si de trois variations ( delta ( u), delta ( v), delta (w) ), deux, sont liées entre elles par une relation mathématique dans le rapport Puissance / Factorielle, la troisième définie entre deux limites ; ces dernières définissent une partie finie de l'exponentielle de la variation.

Toujours en utilisant les variations, nous allons pouvoir définir la mathématique qui leur est spécifique. En effet,  nous avons pu déterminer et définir une arithmétique pour les variations. Cela à partir de la géométrisation d'un ensemble constitué d'une somme de variations différentes. Ainsi, sachant que les variations ne sont déterminées en dimension que par les unités des axes auxquelles elles appartiennent, dans un premier temps, nous écarterons la notion de dimension pour analyser simplement leur rapport différentiel entre variations successives. 

Nous définirons, la variation de variation par la différence entre deux variations cote à cote, cela indépendamment de toutes grandeurs mesurables. Nous avons remarqué : quelque soit un nombre de variation défini pour transporter un point géométrique en un autre lieu géométrique, la quantité de variations est dans un rapport constant avec la grandeur mesurée. Qu'en sorte, il est toujours possible d'ajouter quantité de variations de son choix, pour faire coïncider deux points géométrique ; la grandeur, restant constante ; c'est le couple ( même unité de variation, quantité ) qui détermine la mesure.

En effet admettons, une ligne sur laquelle sont positionnés : deux points extrêmes et, quantité de points intermédiaires dont la distance à l'origine est connue ou inconnue, Les distances entre les points sont les intervalles ou variations d'un point intermédiaire à un autre. Pour connaitre la valeur de l'intervalle entre les deux extrêmes, soit la grandeur mesurables, nous devons éliminer un à un les intervalles intermédiaires ou les points ce qui revient au même résultat.

La méthode que nous avons défini, est nommée Variation de Variation Différentielle d'ordre (n-1). En effet, les quantités de points intermédiaires sont des bornes ; en éliminant une à une chacune d'entre elles, étant donné que la grandeur mesurable entre les bornes extrême est constante, l'intervalle éliminé avec une borne modifie les intervalles restants suivant une répartitions à l'ensemble ; cela, en modifiant l'unité à l’intervalle de chacun. Suivant l'élimination une à une des bornes intermédiaires, in fine, l'intervalle restant contient la somme de tous les intervalles initiaux situés,entre les bornes avant que celles ci ne soient éliminées ;  et tous les intervalles répartis et redistribués en un seul intervalle. 

En procédant ainsi , nous avons effectué l'inverse de la division non euclidienne ; en effet, après soustraction de chacun des intervalles intermédiaires, nous n'avons pas de reste, à chaque soustraction d’intervalle nous avons réparti aux intervalles restants, l'intervalle que nous avons éliminé. Si nous inversions le processus, l’intervalle entre les bornes extrême étant redistribué entre :  un , deux , trois ,   (n ) ,  bornes intermédiaires  ; nous aurions obtenus la division non euclidienne de l’intervalle. 


Théorème : La division non euclidienne d'une variation, est la répartition contrôlée d'un reste redistribué à chaque partie de la division suivant une proportionnalité en rapport des parties entre elles ; le reste pouvant être négatif ou positif .


Corolaire : ajouter, à chacun des éléments d'un groupe une partie suivant la proportionnalité de chacun, est multiplicatif ; à l'inverse , éliminer , l'élément d'un groupe sa partie redistribuée proportionnellement aux éléments restants , est séparatif .


Définitions :  le Multiplicatif est l'additif  proportionnel à une partie d'un groupe.  le Séparatif  , est le soustractif d'un ou plusieurs éléments d'un groupe leurs parties redistribuées aux élément restants suivant leurs proportionnalités réciproques.


Théorème : Toutes grandeurs mesurables sont strictement dépendantes du produit de leur nombre, par unité de variation .


Corollaire : Toute grandeur est mesurable, par addition du produit des quantités de même unité de variations. Réciproque : une grandeur est mesurable sans unité fixe.

Nous avons quantité de modes opératoires pour éliminer les bornes entre un intervalle donné. La Réduction  des bornes et de conséquence l'élimination d'intervalles de variation tendant vers l’intervalle nul ; la Répartition d'un Intervalle Redistribué toutes proportions gardées entre les autres tendant vers un seul intervalle soit une seule variation . Et dont, nous avons deux cas possibles de proportionnalité. La proportionnalité rapport à  la Somme de tous intervalles ou rapport au Produit. Les deux cas donnent une factorisation. Nous avons étudié ces deux cas et avons pu déterminer que nous pouvions calculer un cas puis le transformer en l'autre cas suivant le rapport Somme /Produit.  Le cas : Somme , simplifie le calcul , par réduction télescopique ; in fine,  nous obtenons un ensemble de produits de rapports dont le numérateur de l'un élimine le dénominateur de l'autre ( la réduction sinus (x) / x   de la transformation de Léonard  Euler).  Le cas : Produit, est d'un calcul avec bien plus de complications. Toutefois , étant donné l’existence d'une transformation suivant un rapport entre les deux cas , cela donne une factorielle de rapport dégressif ( Produit /Somme) multiplicateur du cas somme . Nous n'avons pas encore approfondi l’étude de ces cas et nous somme resté à la Réduction Différentielle, tendant à rendre nulle la variation différentielle d'ordre (n).

La Variation Différentielle d'ordre (n) est un mode opératoire tendant à réduire vers zéro la différence entre une quantité de variations groupées.  Ce qui correspond en fait à éliminer une à une toutes les variations ,ne gardant que la différence entre deux variations successives.  Le mode opératoire construit une arborescence en triangles inversés, suivant lesquels, chaque base précédente est liée à un sommet . Qu'en sorte, le lieu d'un sommet de triangle est relié avec une base. A supposer, deux sommets cotes à cotes tous ont une base similaire, dont une partie des variations sont commune.  Ainsi pour un même ordre (n), nous avons défini le moyen de glissement d'un triangle complet , un moyen convolutif sur un ensemble de variations de variations.

Définition : la Variation Différentielle d'ordre (n) est la résultante des différences entre chacune des variations différentielles d'ordre (n-1).


Théorème : un Groupe de terme de Variations Différentielles est donné d’ordre (n = 0), lorsque lors que le nombre de terme est  =/= de 1.

Si l'ordre d'un Groupe de Variations Différentielles est égal au nombre de terme du Groupe alors la variation est nulle ; si  l'ordre est égal à (n-1 ), l'ensemble du Groupe est réduit à une unique variation différentielle laquelle correspond à l'intervalle minimum d'un Groupe de variations. Nous  remarquerons : la réduction différentielle d'ordre (n) donne un modèle combinatoire entre les différentes réductions successive. De sorte que :  d'un ordre (n-3) à une ordre (n-2),  les variations seront transformées en bornes  ou états desquels par leurs différences sont obtenu le nouvelle variations. Et, étant donné que ce sont des différences nous rencontrons une alternance de signes plus ou moins, par  les jeux de combinaisons entre signes.  La différence d'une différence inverse les signes ; de la sorte , le signe devant une variation différentielle d'ordre (n =/= 0  est équivalent à un multiplicateur à la variation,  tel que :  (-1)^n .  En effet , par la loi des signes  si la variation est (+) celle ci est transformée en signe (-) et vice versa . Ainsi quelque soit le signe de la variation celui est transformé.

Nous remarquerons dés lors, un Groupe de variations réduit à son unique variation,  par ses variations différentielles d'ordre (n-1) , produit également une variation de signes en alternance de signes  ( + et -) ; et, nous aurons observé : une régularité dans les alternances laquelle régularité donne une forme ondulatoire aux signes des variations. Nous pouvons définir : le facteur multiplicateur (-1) ^n  qui nous observons appliqué aux variations est un facteur indépendant de l'unité de variation . C'est un " Constant " dissociable dépendant d'un ordinal calculable suivant la cardinalité d'un ensemble.

Nous aurons remarqué : la dégressivité de l'ordre (n) pour les Variations différentielles, ont donné une forme combinatoire, suivant un triangle arithmétique inversé. Et cela quelque soit le sommet duquel nous remontons à la  base du triangle. Qu'en sorte , nous pouvons définir les variations différentielles d'ordre (n=/=0 à  n -1)  des états combinatoires de variations . En effet , avons défini, que les variations différentielles d'ordre -1  états différentiés devenus variations différentielles d'ordre +1.

En donnant aux variations le moyen de le faire tendre vers zéro suivant des variations différentielles d'ordre  (n=/= 0),  nous avons crée un outil mathématique suivant lequel,  tous les Groupes, toutes les sommes de termes sont dérivable en variation continue. Et cela indépendamment de l'unité propre à chacune des variations. L'outil Variations Différentielle d'ordre (n=/= 0) étant indépendant , cela le défini récursif sur lui même ; en effet, admettant au moins une variation, celle ci est partageable en (n) quantités pour lesquelles seront un nouveau groupe et de  nouvelles réductions de variations différentielles possibles. De sorte que : dans un intervalle donné, un variation aussi infime qu'elle soit,  est défini avec exactitude en sa position, par seulement une arborescence de variations. Sans avoir à utiliser une unité de mesure fixe.

Théorème : Dans un ensemble, de variations données , quelque soit leurs quantités et, quelque soit leurs unités respectives, l'arborescence des combinaisons de variations différentielles entre elles et celles qui sont engendrées, est continue et sans dimension.

Théorème : Un arbre de combinaisons de variations différentielles d'ordre (n) est mesurable exclusivement de par les extrêmes de grandeurs mesurables.

corolaire : entre deux extrêmes de grandeurs mesurables s'inscrit une infinité -1 de variations différentielles , toutes égales ou toutes différentes ne dépendant pas du même rapport unitaire.

Nous avons défini un outil :  les variations différentielle d'ordre (n) ;  nous avons défini sa fonction combinatoire entre variations différentielles, laquelle fonction, construit un arbre de variations dépendant du sommet et d'une base de triangle ; nous avons défini ce triangle arithmétique ; et avons défini, pour l'ensemble des variations que l'outil génère, un modèle différentiel ondulatoire des signes multiplicateurs de chaque variation.

Nous allons définir le terme variation, différent de variation différentielle, nous précisons que la variation différentielle est le différence entre deux variations.