Les Ensembles Pourquoi une différence incomprise

Même si la mathématique est abstraite, pour la visualiser nous sommes obligés de la formaliser par des symboles qui sont des formes .

Forme = enveloppe et enveloppe = limite ; et  limite = partie extérieure mais aussi limite =  partie intérieure . Ceci n'est pas contraire à ce qui est enseigné en classe de seconde des Lycée et Collèges .

Si sur le plan de l'abstrait nous posons un forme sur une autre forme, à moins d'avoir défini une épaisseur à la forme celles ci ne sont pas superposable . Cela peut s’écrire : toutes parties superposées s’annulent d'elles mêmes . Formant une nouvelle forme, qui est vide . Cette forme vide est également bordée par les limites intérieurs de chacune des formes. La raison : la forme vide a pour limite extérieure  la partie de limite extérieure de chacune des formes supposées superposée.

C'est un ensemble vide qui se crée de la superposition des formes, c'est un ensemble vide qui contient une partie vide.

La réunion des deux formes, devient la somme des deux formes moins cette tierces forme crée de la superposition. Ainsi la réunion, de deux formes et la tierces forme crée entre eux, est dans un rapport proportionnel autant de la partie intérieure que de sa partie extérieure.

Or, deux points subsistent, les deux points d’intersection sur les parties extérieures en limite.

C'est seulement si ces deux points sont exclus de l'un est l'autre des ensembles , puis les continuités de limites connectées, que les ensembles réunion et intersection seront séparables,  l'un inclus dans l'autre toutes limites comprises.

Mais bien au delà de cela, si 1 point est associé à la limite de l'un et l'autre point à associé à la limite de l'autre,  les deux limites sont parcourues sans le chevauchement d'un seul point. Fait, qui donne une fin à toute division par union et intersection .

Ceci est le fondement de cette mathématique par la méthode des ensembles et se traduit par une finalité quelque soit les ensembles .

Nous avons volontairement commencé par faire une analogie avec une forme enveloppe pour rendre plus simple la compréhension .

l'axiomatisation de cela, devrait être :

Argument

Il existe informe et vide , l'ensemble primitif . En dehors de toutes abstractions possibles.

Cet ensemble primitif, de informe & vide, a pris forme & vide , c'est la 1ere des transformations primordiales,  c'est l'abstrait , la séparation différentiée, en deux parties de l'ensemble primitif.

Axiome

Tout ensemble primitif quel qu’il soit, est constitué d'une partie extérieure vide et d'une partie intérieure vide, formant un ensemble complet.

Tout ensemble est complet  si et seulement si la partie extérieur de chacun contient toutes ses parties prises en leurs limites extérieurs.

Se déduit alors :  tout axiome doit posséder un argument.

Cela change-t-il quelque chose avec la mathématique actuelle ?

A la fois oui et non !

Oui ! car l'intersection de deux ensembles est entièrement contenu dans la réunion des mêmes ensembles si et seulement si les limites extérieures de l'intersection sont exclues et dans ce cas uniquement chacun des ensembles diminués reforment un ensemble complet.

Alors que l'intersection ne peut être définie ensemble complet.

A l'inverse, si l'intersection est un ensemble complet, cet ensemble tiers fait perdre la qualité de complet aux deux ensembles en raison qu'il possède une intersection des parties extérieures sur les limites dont la quantité est 2 points.

Non !  car l'intersection  est non-différentiée seulement sur les limites extérieures des parties des ensembles ; ce qui ne peut rendre, que incertaines les parties des ensembles qui sont superposées ; c'est à dire l’intersection de la limite de l'un avec les parties de l'autre.

Note,ce que nous nommons incertitude se définit par cause de la superposition de plusieurs limites. A contrario la certitude est l'absence de superposition de limites ;  soit : deux limites superposées font une intersection , reformant un ensemble complet.

La non-réunion et la non-intersection d'ensembles ne modifient pas la non superposition ;  ce qui laisse inchangé, invariant, tous les ensembles.

Il est devenu possible de différencier cette mathématique de la mathématique actuelle par la seule notion de non-superposition qui se définit comme loi principale ; sans que cela ne transforme la superposition : en un ensemble primitif complet.  

Ainsi l'intersection devient soustractive suivant deux conséquences ayant pour causes  l'inclusion ou  la non-inclusion des limites des ensembles en intersections.

Et la réunion devient additive suivant deux conséquences ayant pour causes l'inclusion ou la non-inclusion des limites des ensembles en réunions.

Ce déduit de cela : une loi de transformation dés lors que le mot invariant a pour sens contraire le mot variant ; et, des lors que l'inclusion ou la non-inclusion de limites extérieures (partie extérieure d'un ensemble complet ) intersecte sur les parties des autres ensembles.

A supposer  deux ensembles A et B en intersection ou réunion suivant les critères évoqués relatif à leur partie extérieure réciproque.

A supposer un ensemble C primitif complet en intersection de A et de B.

A supposer une duplication des ensembles  A et B laissant constant C .

Suivant la loi de non-superposition seul l'ensemble C superposé à lui même resterait constant ;  il est un ensemble primitif complet . Et A et B deviendraient ensemble primitif complet par superposition d'eux mêmes. Les ensembles A B C  seraient alors confondus en un unique ensemble primitif complet .

A supposer une duplication des ensembles A et B laissant C constant ; mais faisant en sorte que : chaque duplication soit non-superposable. Il faut et il suffit pour cela que aucune partie de la duplication ne soit incluse dans A ou B ou C. Cela suppose deux cas possibles rapport à l'ensemble C . Ces deux cas ont une même cause :  l'ensemble C est un ensemble primitif complet, la duplication est invariante. Et concernant  les ensemblesA ou B, pour que la superposition ne soit possible, cela ne peut être que : les ensembles A ou B , ne puissent appartenir à leur duplication.

Cela est indépendant d'un quantitatif de duplication cela ne dépend que d'une non-superposition d'ensembles dupliqués.

C'est le mot superposition qui introduit la notion de géométrie avec la partie du mot « position » ; les ensembles A ou B ne peuvent rester à la même position sans se transformer en ensemble primitif complet.  Ils sont de fait exclus de toute intersection et réunion entre ensemble dupliqués et cela sans limite quantifiable .

la Géométrie offre seulement deux cas possibles pour que 3 ensembles dupliqués ne soient pas superposable à leur duplication.

Le premier cas est relatif, c'est celui d'une transformation par rotation de l'ensemble C sur lui même et sa partie intérieure ; les ensembles A et B y étant liés, par : l'intersection de au moins une de leur partie avec l'ensemble C primitif complet, lesquelles parties sont incluse par une limite extérieure.

Deuxième cas toujours relatif à l'ensemble C" primitif complet " , l'inclusion de parties de limites de C dans les ensembles A  et B  et la loi de non-superposition. Les ensembles A et B et leur duplications appartiennent à un ensemble infini complet dans lequel chaque duplication n'intersecte avec aucune autre.

En géométrie, le premier cas est celui d'une sphère sans le point des pôles. Et le second cas est celui d'un plan unique où chaque duplication est non-jointe à toutes autres. Ce qui différencie, chaque duplication étant alors un ensemble C dupliqué commun déporté en position auquel y restent associée chaque duplication, quelque en soit la quantité , l'ensemble formé étant alors infini de par les duplications infinies.

De cette seule loi de non-superposition des limites extérieures d'un ensemble avec tous autres ensembles ou sont inverse, toutes superpositions d'ensembles crée un ensemble primitif complet, prend naissance : une géométrie sphérique sans points de pôles (non dépendante d'une mesure métrique) et une géométrie relativiste rapport à une origine commune non dépendante d'une mesure métrique mais totalement dépendante d'un limite unique par duplication de la même limite des ensembles A et B réunis. La duplication à l'infini sont les duplications des mêmes limites.

Des lors que l'ensemble C est un ensemble primitif complet , toutes intersections de ses duplications reproduisent une ensemble primitif complet. S'ensuit que toutes les duplications des ensembles A et B ont pour limites l'ensemble primitif complet C qui lui même est unique par sa partie intérieure vide  .

Cette mathématique en sa géométrie  n'a qu'une seule limite, un infini unique que la géometrie de non-superposition fait relier a un ensemble primitif complet.

Pour résumer cette rubrique :  Les Ensembles Pourquoi une différence incomprise

Sans faire ajout d'un seul axiome à l'axiomatisation faite par Euclide , mais en utilisant seulement  la cinquième note du livre premier  et la géométrie basique , est crée une conséquence différente dans la notion d'incertitude.

Cette Mathématique est complète, elle inclus toute la mathématique actuelle qu'elle complète par élimination des axiomes , ne laissant que la base axiomatique définie par Euclide en lui empruntant la loi  de la note 5 du livre premier pour faire cette élimination. Dont en résulte un infini unique ayant même limite que l'ensemble primitif complet lui même issu de la première transformation de l'ensemble informe et vide.

L'ensemble informe et vide , est l'ensemble constitué d'une unique partie telle que :  limite intérieure et limite extérieure est une unique partie dissociable et vide. Dissociable par transformation.

Cette notion de vide dissociable qui est imposé par la transformation primordiale, est-elle ,la différence entre le Zéro absolu ou néant et le null, répondre de manière positive permet de donner une définition à Chacun . Cela d'autant plus , que sur un plan strictement philosophique cela correspondrait que toute créativité bien que abstraite, sont issus d'une intuition partie totalement extérieure à soi.

Les Ensembles Pourquoi une différence incomprise  ne serait pas une rubrique  complète si les deux géométries suivant la sphère et le plan ne pouvait être relié entre elles un ensemble  suivant lequel , un unique élément de l'un est peut être relié à un unique élément de l'autre suivant ce que la mathématique actuelle désigne par bijection.

En effet :

A supposer , les duplications doubles , ce retrouve alors une double répartition .
L'une relative à sa duplication sur l'ensemble du plan infini , l'autre relative à sa duplication sur l'ensemble de la rotation autour de l'ensemble C. De la sorte les duplications de part et autre distribuées  aux deux géométries, celles ci ( les duplications) ont une origine , un ordonnancement une continuité.

Et cela sans disposer d'une mesure ou d'une quantification. Ce qui tend à démontrer que mesure et quantification sont indépendant d'une géometrie .

l'ensemble des duplications relatives au plan infini et l'ensemble des duplications infinies relatives à leur rotation autour de l'axe des pôles  sont deux ensemble infinis qui ont seulement l'apparence d'ensemble infinis parallèles  en fait il sont le même ensemble infini dans ses transformations, ici , en deux états stables.

Il est possible de conclure cette rubrique par l'infini des ensembles ne peut être défini suivant des variations ou transformations si il peut être établi : soit qu'il existe une bijection entre deux ensembles pourtant chacun un infini,  état stable , soit qu'il existe un transformation commune à une infinité de partie d'un ensemble, qui dans ce cas résulte d'un même infini.

Ce qui s'oppose à la démonstration de Georges Cantor. Et par là même à la mathématique y prenant l'appui.

Poursuivons l'analyse sans y introduire de métrique. Et revenons à l'ensemble, de la duplication initiale que nous avons précédemment vu,  formé de 4 fois 1/2 ensemble, liés 2 à 2 entre eux par les 2 symétries de base. La symétrie d'intersection et  la symétrie de réunion  qui  réunies ensemble, forment une super symétrie : " la symétrie des symétries ". Nous pouvons dés lors envisager pour une duplication initiale, la création d'un ensemble des Symétries, contenant deux fois deux  1 / 2 parties. Nous y avons trouvé La récursivité, introduite d'elle même par  (  ?  ) .

 C'est bien là l’énigme, car nous constatons la conséquence, sans y trouver de cause autre que, l'ensemble initial se contient lui même dans ses parties. Et effet, nous pouvons attribuer à,  intersection ou réunion , la notion de partie d'un ensemble, tout comme une partie A ou une partie B peuvent  être et sont  2 fois 1/2 ensemble. Et dans ses même parties crée de par les conséquences de l'intersection ou de la réunion sur les 1/2 de  A et de B  résulte  en finalité l'ensemble des super-symétries. Lui même constitué de deux parties dissociables en 2 fois  2  1/2 ensemble  qui sont causse initiales .

Se trouve ici, un effet  résultant de la loi de base sur les Ensemble , le Postulat, de non-superposition d'ensemble engendre deux sortes de symétries, chacune reliées à la conséquence de la même loi . Ses symétries forment un nouvel ensemble qui contient  dans ses parties la symétrie d'intersection pour l'une, la symétrie d'union pour l'autre  et cela deux fois , soit deux ensembles A ' et B '. Et nous avions précédemment défini pour postulat  initial , "  tout ensemble est bordé par une limite extérieure.
 
Le Postulat de non super-position, est cause commune pour qu'un ensemble divisé par moitié génère un ensemble nouveau lui même devisé par moitiés dissociables, contenant chacune les deux demi causes, les effets conséquents de la loi . Et cela seulement  si est appliqué, le Postulat, suivant lequel, l'ensemble est bordé par une limite extérieure. Nous remarquerons que cela  s'applique à une primalité .  En effet , l'ensemble issu des super-symétries est lui même bordé en ses limites extérieures du premier ensemble divisé dont il en est les limites extérieures.

Nous pouvons observer dans cette phrase,  l'ensemble issu des super-symétries est lui même en ses limites extérieures bordé du premier ensemble divisé dont il en est les limites extérieures" . Cela est un constat de construction.  Même si nous pouvons en faire une application à chacune des duplications à l'infini, sans intersection entre elles, comme nous avons pu le définir précédemment. Cela reste le constat d'une construction appliqué à sa loi.

Pour que cela puisse devenir une démonstration , nous  suffit à démonter que l'ensemble, des ensembles que représentent les duplications à l'infini , soit lui même à la fois, un ensemble avec une limite extérieure bordant un autre ensemble , ce dernier ayant une limite extérieure le bordant.

Pour cette démonstration, nous allons nous servir de l'intersection des super-symétries constituant et constitués en chaque duplication et nous y observerons : qu'elles sont réunies par une partie vide  que nous avions défini en primalité par ensemble primitif complet C. Nous l'avons défini primitif complet, en raison : le qualificatif  "primitif" pour sa partie vide  et le qualificatif  "complet" pour sa partie vide et sa limite extérieur vide bordant sa partie vide.

Cette partie vide ensemble primitif complet C,  partie axiale, des super-symétrie, est bordé en sa limite , par une symétrie de réunion et son opposé par une symétrie d'intersection. A l'ensemble primitif complet C  qui en sa primalité est vide , nous avons défini  en sa limite extérieure , la réunion des deux parties des symétries
d'intersection ( vide) et, la réunion des deux parties des symétries de réunion ( non-vide) .

Nous avons défini sans aucune ambiguïté : l'ensemble initial, de par l'ensemble des super-symétries  borde les limes extérieures de l'ensemble primitif complet C, lequel  borde l'ensemble des super-symétries ainsi que les 2 fois 1/2 de l'ensemble initial.  Dés lors nous retrouvons un effet récursif que nous pouvons analyser comme un retour de l'ensemble initial sur lui même après génération de deux  super-symétries. Dés lors nous pouvons observer que le retour à l'ensemble initial est une finitude  dans un même ensemble. Nous rappelons, l'ensemble initial , sont ces 1/2 d'ensemble, première des duplications poursuivies à l'infini pour former l'ensemble infini. Ces duplications à l'infini n’étant pas superposable sans violer les postulats, nous voyons que d'une part que la multiplicité est génératrice en bordure de l'ensemble primitif complet d'une multitude de double partie vide ( intersection ) et d'une multitude de double parties non-vide (réunion).

Nous avons défini : l'ensemble primitif complet C est bordé en limite,  de parties  (vides) et (non vide), cela en double , nous avons construit un ensemble primitif complet dont la limite extérieure contient autant de parties vide que de parties (non vide ) alors que la partie intérieure est l'ensemble primitif C . Nous pouvons définir cet ensemble infini  de 1er ordre. Et dans lequel nous avons autant de parties vide que non vide. Le double étant alors une récursivité sur : un 1/2 ensemble infini vide  superposé à un 1/2 ensemble infini  non vide, cela en totale correspondance avec l'ensemble initial . La récursivité de la récursivité ou super-récursivité.

Nous pouvons conclure,  le Postulat, selon lequel tous les Ensembles sont bordés d'une limites extérieures y compris l'ensemble vide ; le postulat , selon lequel tous les ensembles superposés créent une intersection vide , se vérifie  par lui même , suivant deux conséquences : les super-symétries que la cause des postulats ont engendré une récursivité laquelle dénonce un infini récursif ou super-récursivité.

Dés lors que : aucune métrique n'est associée . Cela peut être admis comme base d'une théorie fondamentale.

Nous en faisons un rappel : notre base , est le point suivant la définition faite par Euclide dans le livre des Éléments à laquelle nous avons joint : " la 5ème note du livre II des Éléments ". Base selon laquelle s'en déduit les deux postulats.

Nous avons apporté au plan euclidien , deux ensembles identiques,  non définis par une métrique (non-quantifiés) ,  pouvant être superposé ou non-superposé,  constitués de parties vide et de parties non-vide, totalement différentiées, l'une bordées des autres. Desquels ensembles,  nous pouvons définir, le point euclidien bordé en limite extérieure de parties (non vide) .

Nous reprenons la définition du point suivant Euclide nous citons : " Un point est ce dont la partie est nulle. "  . Nous pouvons admettre que toute partie vide est nulle. Nous reprenons également  les Notions ordinaire du livre II  note 5 " Le tout est plus grand que la partie."  Et constatons , que Euclide énonce clairement cela : le point est une partie nulle, à laquelle est adjoint un tout plus grand que la partie.

Nous venons de démonter que les deux postulats ne sont la déduction  déterministe , de cause à effet : la partie (nulle) est dans un tout ;  lequel, tout est plus grand . Le tout est différencié de la partie.

Et nous en concluons,  nos deux postulats , sont devenus des hypothèses démonstratives non-réfutables s'appuyant sur les Éléments d'Euclide.

Exception faite de toutes métriques possibles, à partir de la théorie des Ensembles (sans axiome),  nous avons construit : les symétries, les super-symétries, la récursivité et la super récursivité . Et avons défini une topologie commune pour les espaces : du plan,  du double repli du plan, de la sphère , du cube ,  de la Tri-Orthogonalité  de laquelle nous proposeront , un arithmétique complétée, des géométries différentes, des outils d'analyses nouveaux, une logique à la fois logique sur le discret et le continu. 

De par les livres des éléments, nous avons pu définir une Théorie des Ensembles sans autre Base axiomatique que celle qui nous fut proposée par Euclide. Théorie de laquelle à partir d'un ensemble informe et  vide , nous nous avons pu définir un ensemble infini formé de deux ensembles totalement symétrique et possédant chacun autant de parties vide que autant parties pleines. Sans avoir apporté de mesure quantitative et comparative, nous avons pu définir cet ensemble infini suivant deux effets différentes, la réunion et l'intersection. Le premier effet, jointe, ajoute ;  le second effet ;  jointe , ajoute,  en supprimant en éliminent les parties communes. Nous avons dupliqué cela à l'infini qu'en sorte : cet ensemble infini est formé d'une infinité de sous ensembles différentiés ayant une partie vide et une partie pleine , que nous avons précédemment vu en double .
Nous pourrions considérer ce double comme deux infinis différents, mais si nous appliquons  la théorie des ensembles sur ces deux infinis , nous remarquons : si nous assemblons par les limites extérieur et en réunion,  les parties vide de l'un est de l'autre, nous obtenons une partie vide commune. Si nous assemblons par les partie pleine de l'un et de l'autre, il se trouve une élimination par superposition et une partie vide.  Si nous assemblons par intersection , partie pleine ou vide , nous obtenons toujours une partie vide .

Et si est appliquée la récursivité qui est apparue, nous remarquons que le jointoiement des limites extérieures  également sur l'infini , est absolument identique.

Sans métrique, sans quantitatif comparatif , en considérant que chaque sous ensemble de l'ensemble infini est constitué d'une partie vide et d'une partie non-vide nous avons défini un ensemble infini, fini (fermé clos ) sur lui même et dont les sous ensembles sont identiques.

En conclusion de l'article, suivant un ensemble informe et vide et, la définition du point selon Euclide, suivant la théorie des ensembles par leurs réunions ou leurs intersections  entre eux  et, l’hypothèse d'un ensemble infini,  nous somme parvenu à définir : trois sortes de symétries , deux sortes de récursivités ,  des sous ensembles identiques  et un infini clos fermé mais indéfinissable. D'une part : les ensembles non-quantifiés, d'autre part :  les symétries et super-symétries, ainsi que  le " récursif " et le "super-récursif", nous ont permis de remarquer , que le sous ensemble d'un ensemble est identique à l'ensemble. Qu'en sorte : le sous ensemble est également fermé sur lui même .


Nous avons dans  les définitions précédentes, l'ensemble des moyens, à la fois pour exprimer toute la mathématique selon Euclide , mais également l’étendre de nouvelles fonctionnalités arithmétiques et géométriques.

En effet, nous pouvons dés lors, définir le quantitatif nécessaire à chaque arithmétique, et le métrique nécessaire à chaque géométrie.