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Suivant ces deux théorèmes sont construit : l'ensemble des Nombres entiers , des Nombres Fractionnaires  et des Nombres Complexes.
Toutes fois pour faire le lien entre les Nombres Entiers et les Nombres Complexes manquerait pour théorème , celui qui relie les puissances  à la Base e par l'expres​sion(1 + ( 1/X )^x .

Ce théorème  résulte d'un Angle Constant , d'une Proportionnalité Géométrique, et d'une indépendance totale entre :  le Nombre ( Nombre ( incrément Nombre ) et le Nombre (Puissance ( incrément Puissance).

Or , le Nombre (incrément Nombre) et le Nombre ( incrément Puissance) sont tous deux semblables dans deux cas
- lorsque  le Nombre (incrément Nombre) = 1 et, tous les Nombres avec (l'incrément Puissance = 0)  ; et,
- lorsque  les Nombres (incrément Nombre) sont la suite des Nombres  et , tous les Nombres avec (l'incrément Puissance = 1)

Ces  deux ensembles :  le Nombre (incrément Nombre) et le Nombre ( incrément Puissance) , sont de fait différentiable tout en ayant une partie commune. le Continuum ( glissement continu ) d'une manière générale passe par cette partie commune. La démonstration de cela passe par la Géométrie euclidienne .

Théorème de base pouvant être édicté.

Quelque soit le domaine de définition d'un Nombre (N) compris entre moins infini et plus infini, quelque soit (N)  le Nombre incrément ou  (N) le Nombre incrément Puissance de ( N) , la variation continue de l’incrément Puissance  et la variation continue de l'incrément Nombre entre les limites ainsi définies, sont liées l'une à l'autre par le rapport constant  1/x . Qu'en sorte :  Pour un même rapport sont : toutes les Puissances entre les limites définies ainsi que,  pour tout Nombre X  sont également : toutes les Puissances comprises dans les mêmes limites.

La démonstration est à la fois algébrique et Géométrique.

Ce qui différencie , Groupe du Nombre incrément Nombre du Groupe Nombre incrément Puissance , tient dans le fait que le Nombre incrément Puissance est : zéro compris, alors que le Nombre incrément Nombre exclue le zéro. Ce qui est logique  ,  rien, ne peut rien produire ou ne peut reproduire que lui même  ; alors que, le Nombre incrément Nombre à la Puissance 0 renvoit à l'Unité.

Résulte de ce théorème  : l’incrément du Nombre Puissance  ou l’incrément du  Nombre Nombre , forment des Groupes associés , dont les variations sont communes.

Ces trois théorème de Base font un lien direct avec le Nombre e.
En effet , ( 1 + 1/n) ^n  lorsque n grandit "indéfiniment " cette valeur en résultat  croît sans cesse mais se stabilise assez vite pour converger vers le Nombre e. La démonstration en est faite par Denis Guedj  dans la démonstration humoristique du Théorème du Perroquet , (Tangente  HS 41 p 41)

S'en suit que avec ces mathématiques le Nombre e, peut être expliqué d'une manière totalement différente que ne le font les mathématiques actuelles. En effet ,  ( 1 + 1/n) ^n est avant tout un processus combinatoire de variables telles que les inverses de Nombres  Groupées et que , la variation indicielle de leur puissance limitée au Nombre produit un glissement continu dont la conséquence est la recombinaison des Groupes.

Le processus logique de recombinaison du Combinatoire des Groupes est indépendant .  L'expres​sion(1 + n ) ^n  et l'expres​sion( 1 + 1/n) ^n  ont la même logique de construction suivant les mêmes groupes . Seuls changent chacun des  résultats partiels . Or,  le produit d'un Groupe avant sommation de plusieurs en un Groupe supérieur que cela soit des produits issus de Nombres ou d'inverses de Nombres,  le produit est soit au numérateur soit au dénominateur . De conséquence,  l'on a des Groupes de produits  ou des Groupes d'inverses de produits qui dans l'un ou l'autre des cas seront  sommé.

S'en suit : le Nombre e peut être exprimé par une somme d'inverse de Groupes  lesquels sont définis par une logique de construction des Groupes. De fait ,  le Nombre e peut être exprimé par cette logique.

Or suivant cette logique , l'ajout d'une variable produit le glissement des parties du Groupe vers le Groupe directement supérieur.   Le glissement est délimité.  C'est une fonction logique.  Une quantité finie. Mais au delà de cela , chaque Groupe est divisible sans reste par un entier.

Cette logique introduit le Nombre e sous la forme de variables combinées .

La question qui peut être posée : étant donné que les facteurs  "les parties combinées" sont identiques  quelque soit  X ou 1/X,
existerait il un rapport pouvant permettre de définir le Nombre e suivant une fonction de transformation  entre "les parties combinées "suivant les produits issus de  X ,  ou issus  de  1 / X    ?

Les deux premier théorème de Base induisent un théorème qui en fait la liaison directe entre eux.

Ce Théorème peut être édicté ainsi :

Quelque soit le Nombre( x) incrément Puissance d'un Nombre incrément Nombre (N)  compris entre - infini et + infini de l'espace des Nombres y compris le zéro, il est un Groupe procédural de "Régression Différentielle©" ( une fonction de la puissance (x) ) qui réduit à 0 le différentiel entre deux degrés successifs de la régression. Qu'en sorte :  la "Régression Différentielle©" d'ordre n construit le fini.

De la sorte , toutes les expressions mathématiques quelles qu'elles soient, sont comparables  à travers chacune de leur équation de Régression Différentielle réciproque.

C'est le théorème qui est à la Base et le fondement de ces Mathématiques différentes. Et qui peut se résumer ainsi :  

Ces Mathématiques sont les Mathématiques de Groupes , en cela les Mathématiques du "Fini Expansif©" : par nature les groupes sont des ensembles finis et non limités

Ces Mathématiques sont aussi les Mathématiques d'une "Logique Descriptive©"

La "Logique descriptive©" est la logique par laquelle chaque ensemble réel ou imaginaire est déstructuré en sa plus petite partie différentiable ,  connue des mathématiques actuelles par " partie atomique " .

Ces Mathématiques peuvent décrire le Nombre suivant l'association des deux expressions  Nombre incrément Nombre et Nombre incrément Puissance.  

le symbole * associé à  N ou n,  de Nombre, différencie celui ci ; "l’étoile  *" symbolise  y compris le zéro.


Quelque soit (N)  ou  (n)   compris entre - infini et + infini :  

N = n ^n*  ; N ou n pouvant prendre chacune des valeurs comprise dans les limites .

N = 0  est n'est pas différentiable , c'est un état non transitoire.


Suivant la "Structure Tri-Orthogonale©", précédemment décrite dans les articles de ce site, l'expression  :
N = n ^n*  est le plan deux dimensions " Nombre Nombre / Nombre Puissance " dont les limites sont - infini et + infini.

Suivant le lien direct précédemment décrit pour le Nombre e,  la troisième dimension, correspond au  plan factoriel,  qui est lui même délimité. En effet ,le Mathématicien Euler montra que l'on peut écrire :
e  = somme de K=0 à infini  1 / K ! ; d'où le Nombre e  est la somme des inverses factorielles.

La "Structure Tri-Orthogonale©" est bien contenue dans les trois dimensions ci après désignées  :
- Nombre incrément Nombre  
- Nombre incrément Puissance
- Nombre incrément factoriel

La Structure Tri-Orthogonale, dispose d'une  équation de construction différente pour chaque plan , cela avec  des paramètres  identiques ,  résulte , une équation généralisée  dés lors que, l'un des plans est "Constant" .

le Théorème suivant peut être édicté :

Si dans une structure en trois dimensions, l'une des dimensions est délimitée et les deux autres dimensions non délimitées, l'ensemble de tous les points géométriques qui y sont contenus, sont inclus dans un seul et unique plan pouvant être parcouru par une seule et unique courbe , d'équation généralisée et définie  par addition d'un constant.  

le Théorème de réciprocité

Si dans un plan non délimité  l'équation d'un point géométrique contient en additif , un constant,  alors ce plan est transformable en trois dimensions.

Ces Mathématiques ne connaissent qu'un seul infini bordé par un signe + ou un signe -.  Lesquels signes symbolisent un sens de variation rapport à un repère .

Le plan Nombre incrément Puissance / Nombre incrément Factorielle  est toujours lié à un Nombre incrément Nombre qui est alors le Constant du plan. le Nombre incrément Factorielle est de l'ensemble  N  alors que le Nombre incrément Puissance est de l'ensemble N*.

La fonction  N Combinatoire des Puissances et factorielles cité à la page précédente est la fonction qui pour un Constant donné pour Nombre  N , transforme :  le Nombre N à la puissance n en factorielle n . Il existe la fonction réciproque transformatrice de N ! en N ^n .

Chose intéressante , la factorielle est elle même un groupe multiplicateur (de facteurs) les parties d'un groupe.
Or le théorème édicte , c'est le combinatoire des sommes et différences d'un Groupe de ( n+1) parties  qui crée la factorielle n! .
Il se trouve un lien direct entre  Somme et Produit des parties de deux Groupes, l'un plus grand d'une partie. Ce lien est la factorielle .

Or, Somme et Produit de parties de Groupes cela est aussi une polynôme de  puissance (n) éme .C'est le développement polynomial .

La factorielle ( n) est le déséquilibre entre  une répétition de facteur identiques , (une élévation à une  puissance donnée (n)) et, une variation continue introduite dans les facteurs : la factorisation continue d'une variable de valeur différentielle de 1 et, pour  (n+1) facteurs.

Théorème  de réciprocité :  Factorielle n!  suivant les Groupes

Cherchant une explication simple pour montrer que la factorielle (n!) peut être élimée dans l'expression de l'exponentielle X.  Je rencontre comment suivant ces mathématiques de Groupe,  factorielle  0!  = 1 . Cela en cherchant à vérifier toutes les possibilités exploitables.  Deux cas vérifiés sont possibles .
-Le premier cas , la factorielle ne dépend que des parties d'un Groupe , même à zéro partie, le Groupe vide = 1
-Le deuxième cas , le Groupe diminue un constant, l'ensemble élevé à une puissance (n) ,   (X - Gp)^0  = 1    

La factorielle est issue d'une fonction de Groupe . La factorielle ne dépend pas d'une valeur , mais dépend des parties constitutive du Groupe .

Théorème :  la définition de la factorielle suivant les produits des Nombres

La factorielle d'un nombre , est le produit de tous les Nombres entiers qui le précédent multiplié par le Nombre lui même .

Théorème :  la définition de la factorielle suivant les Groupes de Nombres

la Factorielle d'un Nombre (n) est égal à  : ( la valeur d'un constant X  diminuée  du Groupe des Nombres constituant (n) ) à la puissance (n).

C'est aussi la définition de la fonction continu . En effet , quelque soit X donné entre -infini et + infini zéro exclu , lorsque la puissance (n)  varie,  la factorielle n ! varie également . Et lorsque (n) est constant et que X varie , la factorielle est constante.

Avec l'accroissement de X gardant constant la factorielle (n) pour une même puissance , se produit un effet compensée . Cela se démontre, et est dû à la variation du combinatoire.

La Structure Tri-Orthogonale permet d'observer qu'un Groupe lié par une relation de continuité (+1) quelque soit le plan puissance,  l'ensemble du Groupe dans le plan est égal à la continuité du Groupe dans un plan supérieur ( Cela se démontre par le Combinatoire). Et cette Structure Tri-Orthogonale est régie par deux équations différentes transformées en un équation générale.

Il ressort de cela : l'expression de l'exponentielle X  =  la somme de 0 à infini des rapport  (X ^n ) /  ( ( X - Gpn )^n )

Soit   somme de 0 à infini        (  X  /   (X - Gpn ) ) ^n  

(X - Gpn ) ) ^n   est un autre mode opératoire qui n'existe pas avec la mathématique actuelle , ( Somme, Différence , Produit , Puissance ,  d'un Nombre par les Groupes. )

X  est une valeur entre - infini et + infini

Gpn est le groupe sommé des puissances de n , tel que  [ 0^n + 1^n + 2^n + 3^n +................. + (n-1)^n +(n)^n ]

Dans le développement du polynôme ( X - Gpn )^n les puissances de X^ (n-k) . ( Gpn (^k) --> [ 0^k + 1^k + 2^k + 3^k +................. + (n-1) ^k +(n)^k ] ) ;

Il est difficile d'adapter le commentaire de la façon dont j'ai l'approche de la mathématique dont je suis inspiré avec celle qui est celui la mathématique actuelle. Toutefois en reprenant ma pensée, je me rends compte que c'est d'une autre forme de la fonction factorielle que je suis partie ; cela sans jamais pouvoir la définir avec exactitude pour raison que je ne voyais pas comment exprimer cette fonction suivant cette conception mathématique.

Là, je viens de voir que dans un univers mathématique exprimé dans sa totalité par les  puissances des Nombres,  chaque Puissance vient à former une groupe  X de dimension infinie, suivant une infinité de Groupe.

Je viens de voir également que le combinatoire est un autre  univers mathématique exprimé dans sa totalité par les coefficients binomiaux. Lesquels sont associés par Groupe défini en quantité infinie.

Si une part, à la forme triangulaire des coefficient binomiaux pour chaque partie d'un Groupe est appliqué en alternance un facteur +1 ou -1 ce trouve définie une matrice triangulaire sous la forme d'une Onde en alternance.

Quelque soit X positionné dans le Groupe pour chaque Groupe de puissance , si pour chacun des groupes entiers de la matrice triangulaire est appliqué  par chacune des parties (terme à terme) le produit de la partie du Groupe puissance  (sorte de convolution), la résultante arithmétique est 0 pour tous les Groupes combinatoires sauf pour un seul groupe : "le groupe correspondant à la puissance. Et cela comme dit ci dessus quelque soit X" .

De la convolution des Groupes Combinatoires exprimés sous la forme d'une onde agissant sur les Groupes eux mêmes formés par chaque puissance  résulte , soit  0 , soit un Nombre, celui là même qui est égal à la factorielle du nombre effectif définissant la puissance du Groupe.
la matrice combinatoire alternée appliquée en chacun de ses Groupes à chacun des Groupes de puissance, en finalité : est une suite  de factorielle ; pour les groupes de puissance de 0 à infini ,  et quelque soit X  d'un même Groupe de puissance  est la même factorielle défini
par le glissement du groupe Combinatoire et son application sur les autres  parties  du Groupe Puissance.

De la convolution  se rencontre  soit une factorielle constante , soit l'ensemble des factorielles .

C'est l'une des raisons pour laquelle est le théorème précédemment énoncé .

A présent faut exprimer cela avec la mathématique actuelle.

Soit l'ensemble des puissances de X  entre - infini et + infini  et ses sous ensembles définis par les Groupe Puissances (m) de 0 à m.
Soit l'ensemble des Combinaisons possibles de k parmi n  transformé en modèle ondulatoire par application du facteur (-1) à la puissance n , et ses sous ensembles définis Groupe Combinatoire de ( n)  pour l'un et l'autre des ensembles, m et n sont de valeur infini .

Le plus grand groupe de l'ensemble du combinatoire (n = infini dans ses parties) est égal à au moins l'un Groupe Puissance (m)  dans ses parties  X , quelque soit  (m).
Et le plus petit groupe de l'ensemble du combinatoire (n= 1 dans ses parties ) est égal à la plus petite partie du groupe de chacun des Groupe Puissance (m) dans ses parties  X .  

De sorte que : tous les Groupes de l'ensemble du combinatoire peuvent être combinés  dans leurs parties avec un Groupe de puissance (m)  , et cela est possible pour tous les Groupe de puissance (m)

Soit la combinaison terme à terme du produit des valeurs entre chacune des parties d'un Groupe de l'ensemble combinatoire (n)  et des parties d'un groupe de puissance (m) .
Résulte de cela, la définition d'une valeur résultante pour chacun des groupes combinatoires quelque soit n.
ce résultat se défini : quelque soit  la valeur de X du groupe de puissance (m) et quelque soit  m =/= n  sa valeur puissance, quelque soit le Groupe combinatoire  n =/=  m .

L'application  du Groupe combinatoire  (n),  sur le groupe puissance de (m)  et ses seules parties en rapport de (n),  est un résultat  nul
 
L'application  du Groupe combinatoire  (n = m ),  sur le groupe puissance de (m)  et ses seules parties en rapport de (n),  est un résultat est égal à n !

De cette dualité : tout et rien , dans rien est le résultat 0 ,  dans le tout , sont un à un  toutes les factorielles possible des Nombres,  s'en suit une loi .

Quelque soit X  dont (m)  est la puissance ,  si  le groupe combinatoire appliqué est celui dont la valeur n égale m  alors  m ou n est factorielle , toutes les différences entre m et n apportent un résultat nul  . Quelque soit X apporte une indépendance totale entre les Nombres factoriels et les Nombres constituant de  X.

Et sa réciprocité issue  des combinaisons possibles ,du groupe Combinatoire (n)  sur les parties du Groupe puissance de (m), parties contiguës et toujours limitées à n = m  soit suivant un glissement du Groupe combinatoire (n) sur chacune des partie  partie du groupe puissance (n)  par tout les X  après le premier la première combinaison contenue dans X .

Quelque soit les variations  du  Combinatoire de Groupe (n = m ) sur les parties restantes, du groupe des puissances de (m) , comprise de (X - n ) et infini  chaque résultante  pour chacune des combinaisons possibles,  est égale à la factorielle n !  soit   n! est constant X-n est infini.

La factorielle n! prend une nouvelle définition  suivant les Groupes de puissance (m)

La factorielle est devenue une fonction  d'application  du Groupe Combinatoire des combinaisons et permutation de k parmi n , appliqué sur le  Groupe des puissance  (n) et  les combinaisons que constitue  le complément de n à  infini  les parties d'un même Groupe de puissance.

La factorielle suivant la mathématique actuelle , est le produit du nombre N par tous les nombres qui sont ses prédécesseurs dans la suite incrémentale de 1 à  N-1

Suivant la mathématique ci-avant exprimée,  la factorielle est l'application de K parmi n   soit  n !/ ( K! ( n-k) !)   sur  n combinaisons parmi Infini -n -1   soit   infini ! /  ( infini -n) !    complément du groupe  des puissances (n).

Jean claude LELONG-BONNARIC copyright 30 Novembre 2015 00 h 15

Suivant la mathématique ci-avant exprimée,  la factorielle est l'application de K parmi n   soit  n !/ ( K! ( n-k) !)   sur  n combinaisons parmi Infini -n -1   soit   infini ! /  ( infini -n) !    complément du groupe  des puissances (n).

"Soit l'ensemble des Combinaisons possibles de k parmi n  transformé en modèle ondulatoire par application du facteur (-1) à la puissance n , et ses sous ensembles définis Groupe Combinatoire de ( n)"
transcrit en des termes répondant à une équation :

n ! / K ! (n-k)  ( -1) ^n    est une structure de forme triangulaire aux valeurs de coefficients binomiaux signés  
d'un opérateur +  ,  - ,  conséquence  de la multiplication par lui même  de (-1) x (-1) =  ( +1)   x  (-1) =  (-1) et conséquence de la loi des signes.

[ n ! / K ! (n-k) !  ( -1) ^n ] est une structure complète auto générative des lors que n est =/= 0 et 0 < k =< n quelque soit n entre 0 < n = < infini

La structure [ n ! / K ! (n-k) !  ( -1) ^n ] est une structure complète auto générative des lors que n est =/= 0 et 0 < k =< n quelque soit n entre 0 < n = < infini .  Pour chaque valeur de n , est un Groupe Combinatoire de signes alternés en chacune de ses parties. Cette mathématique inspirée définit cette structure muni des opérateurs +, x , et leur inverse - , / , comme étant, la base d'un Calculateur Logique dans le Fini et le Fini Expansif, ainsi nommé par le fait que : dupliquer l'un des Groupes Combinatoire de signes alternés l'un augmenté la partie vide (ce qui ne change pas le résultat mais y introduit le 0), la différence entre les parties dupliquées produit le Groupe Combinatoire alterné  ( +1 ),  comme lui ci est produit par la variation n +1 .

l'Expansion des Groupes du combinatoire de signes alternés , est à la fois induit par la variation n+1  et est  auto inductive par le différentiel du Groupe sur lui même inclus pour l'un, de la partie vide.

l'Expansion des Groupes du combinatoire de signes alternés , est à la fois induit par la variation n+1  et est  auto inductive par le différentiel du Groupe sur lui même inclus pour l'un, de la partie vide.
La mathématique inspirée,  l'expansion auto inductive,  traduit cela sous la forme d'une Symétrie, du Groupe combinatoire de signes alternés située de part et autre d'un axe nul . Cela correspond à un Groupe combinatoire d'un nouveau genre : le Groupe de Symétrie du Combinatoire : le "Groupe Gémellaire©".

Définition  : le Groupe Gémellaire est un Groupe vide complété des parties, d'un Groupe défini et de son image (sa duplication).

attention,  ce n'est pas pas un doublon ( l'image exacte en double ou chacune peut être avec une partie vide différencié) , c'est un seul Groupe constitué de la partie vide et du groupe et son double.  En effet , dans le groupe Gémellaire, en combinant par différence   la partie vide et l'un des doubles avec le reste qui en est le complément du nouveau Groupe,   résulte un seul Groupe combinatoire qui est le successeur +1  de celui qui a été dupliqué.

Cela peut se définir en processus suivant cette explication .

Soit une ensemble vide  (phi)
Soit un ensemble fini  N   (  Nombre, zéro non compris )
soit la duplication du sus dit ensemble fini  N '
soit la somme des trois ensembles n'en définissant qu'un seul , l'ensemble Gémellaire.   Phi + N + N'
Soit le différence de la somme de l'ensemble vide + le premier  jumeaux   -  le second jumeaux  -->  ( Phi + N) -  N'

Alors que le résultat  devrait être nul , la partie vide ayant produit un décalage  cela équivaut au mode opératoire d'une multiplication ou d'une addition pour les puissances.

Résulte l'ensemble fini (N +1) (  Nombre, zéro non compris, étant toujours dans le combinatoire il ne peut y avoir de 0 )

S'en suit à cela , il devient possible  d'incrémenter +1  autant la variable  "X " que +1  la puissance de la variable "m"   quelque soit  X quelque soit m de X ^m .

Théorème :

 Un Ensemble, un Groupe, une  Partie , "Gémellaire"  , sont  : deux parties, deux groupes, deux ensembles identiques et disjoints.

Théorème :

La dérivée continue de la puissance m d'une variable X  et,  la dérivée continue de la variable elle même, sont issues des Groupes Gémellaires appliqués au combinatoire de la puissance  iéme  et du composé de la variable .

Est entendu par composé d'une variable,  le contenu dissociable entre la valeur de la variable et l'unité de groupe à laquelle appartient la variable  (suivant la notion de partie atomique non dissociable).
par exemple pour   X^n  ,  ( X - a)^n ,  (X - b)^n ,( X - c) ^n   ...etc  ;  si a = 0 alors ( X - a)^n = X^n.

les termes  b, c, d,  de l'expres​sion(X  -   .  )^n , ne sont pas moins que des variations de (a) et à ce titre  un Groupe combinatoire de signe alternés.

Note : Le processus du développement en polynôme de (X-0) ^n  oblige à apporter une valeur =/= de 0  à des puissance de 0 alors que zéro est la partie vide d'un ensemble. La mathématique inspirée, donne à cela la valeur unité de transition (le complément à la variable) . Il se trouve autant de parties vide qu'il n'y a de parties dissociées qui composent la variable. Ce qui montre cela : est la logique de transition qui résulte de l'augmentation ou la diminution d'une variable en ce qu'elle est élevé en puissance par le processus du combinatoire. La mathématique inspirée en apporte la certitude, par le graphe de composition de la puissance d'une variable;  suivant lequel graphe, la variable définie est à  1 et a = 0 ;  la variation de  a =/= 0  est un produit de facteur progressif  soit un combinatoire de parties  ; mais avec  a = 0 , ce sont  bien encore les puissances de l'unité.

Résulte à cela : ce qui est entre parenthèse tel que ( . "+/-" . )^n l’intérieur de la parenthèse est une groupe non dissociable  ( la partie constante, et la partie variable). Et c'est exactement cela que montre le graphe de construction logique  d'une variation de produit de facteurs , ou bien de produits de facteurs toujours identiques . C'est de cela que résulte la Logique Descriptive. Logique qui est le reflet exact de la variation par groupes entiers de variables tout en laissant constant  le combinatoire . C'est ce que j'ai nommé dans mes précédentes rubriques :  le glissement par bloc ( sous entendant Groupes de variables Combinés entre elles, glissant  à un combinatoire supérieur +1 . c'est une auto induction qui ne peut être partielle sans créer le déséquilibre d'un reste qui est malgré tout définissable,  suivant cette logique Descriptive,  pour raison que cela serait une rupture dans le continu. En effet , la Logique Descriptive , décrit  l’état de la variable , entre l'ajout de la partie  différentielle rapport aux parties différentielles précédentes dans leurs sommes partielles et la finalité de leurs combinaisons , qui est devenu le Groupe combinatoire factoriel complet.

En résumé , une variable X de X^n à une puissance quelconque ne peut être égale à 0 , la décomposition en polynôme de somme de puissance,  et une Somme de Produits qui dés lors sont nuls même si X  =/= 0 .
Une structure de type hélicoïdale, se construit suivant laquelle un combinatoire, permet de passer en continu  de -infini à +  infini  sur l'axe d'une même valeur définie et en quadrature la même valeur +1  ; ce sont deux valeurs successives à toutes leurs puissances.

La raison à cela : tient au seul fait, que, étant dans un plan unique, donc sur deux axes équerrés ou simplement différenciés. La projection d'un point sur l'un et l'autre des axes, est toujours multiple de l'unité utilisée pour la construction de l'axe . Ce trouve alors pour chaque point de ce plan constitué ,  une relation directe à deux unités différentes. Le multiplicateur de l'un est aussi dans la partie exponentiation de l'autre et inversement. Le point en ses deux projections est défini "fini" , partie commune  du plan   et multiple + 1 de  puissance n et,  multiple n de puissance (n-1).

Le processus continu est identifiable, c'est le groupe  N et N +1 , en leurs puissances et à puissance constante tout à tour .

l'expression contenant la dérivé de la variable X ^n en (X-1) ^n est un combinatoire triangulaire réduit à des coefficient binomiaux suivant des multiples combinés.

dont l'expression exacte est donnée en suivant .

Pour tous polynômes de degré (n) tel que : (X - Y)^n - infini < n > infini  et pour  X et Y  idem  zero non compris. La différence ou la somme, entre deux groupes consécutifs, chacun formé du produit du coefficient binomial des Variables en leur coefficient puissance respectif et complémentaire  au degré du polynôme , reproduit un polynôme de degré (n+1) supérieur ou de degré (n-1) inférieur.  Quelque soit  ( X  et  Y  de ( X - Y) ^n  ; X la dérive de X ^n  --> Y^n et la dérive Y^n --> X ^n  est interne au polynôme.

Conséquence la dérive X^n   en  X^( n-1)  produit le dérive de ( X-1) ^n en  (X-1) ^( n-1 )

Cette mathématique ouvre sur les théorèmes ci après :

La dérive de X^n en l'une de ses valeurs variable   <  X  > est le polynôme de degré (n) modifié en ses coefficients binomiaux , si et exclusivement si le polynôme est multiple de (-1) n .

Théorème sur la dérivation des polynômes de

Toutes variables d'un même polynôme de degré (n)  telles que X ou  Y de  (X - Y) ^n  sont dérivables  quelque soit les  variation de X  de Y ou de  (n) , ensemble  séparément ou par groupe.

Note :Or , rapport à ce qui est écrit au post précédent, les limites du polynômes sont les axes eux mêmes. De la sorte , la somme des points constituant  la courbe du polynôme et sa rencontre avec les axes, si le polynôme seul ne contient pas de 0 , l'ajout des deux axes constitue un polynôme de référence contenant le 0.

Et du même ajout produit une ensemble clos contenant le 0.

Dés lors ne pourrait on pas en conclure que  tous les points d'une courbe sont relatifs aux limites de la courbe rapport à la jonction ou bien la projection aux axes référents et rapport au 0 par la continuité  (dépassement des limites de la courbe par additif de la partie axe transformée en polynôme) ;  qu'en sorte la courbe additionnée  contient la courbe initiale additionnée de son image . Ce serait cette image qui ajouterait  le zéro.

Or, les points qui appartiennent aux axes ne peuvent en aucun cas appartenir à la courbe sans devoir être inclus deux fois dans la surface délimité par la courbe, d'où la continuité , les points de l'axe,  sont les limites extérieures , d'où il ne peut pas y avoir de division par 0. Mais une sorte  de 0 + epsilon.

Ceci n'est dans la logique des mathématiques actuelles, mais cela est facilement compréhensible ; la mesure de contrôle par comparaison ne doit pas  avoir de parties incluses et communes à l'objet comparé sans créer l'incertitude  " d'une double unité  "  la partie commune d'une part  (l'inclusion) , l’Unité de contrôle d'autre part , la partie  unité de l'axe.


Ce qui par ailleurs semble être ce que font les mathématiques actuelles .

j'ai ouvert cet apartheid ,en raison de l'image mentale que me laisse  la dérive d'un polynôme sur lui même c'est à dire la puissance complète de l'une des variables lorsque l'autre est à son unité , le produit  réciproque ne changeant pas le valeur du combinatoire des deux. Ce qui n'est plus le cas dés la variation sur les puissances des variables. Or , la combinaison des deux variations sur les puissances réciproques entrainent un changement de position sur la courbe polynomiale mais aussi une changement de position sur la courbe des axes.

Dans un rapport tel que  n! / k! (n-k) ! comparé à   n! / (n-k) !,  la différence est  1 facteur de plus  l'ajout d'une partie à 0

Ne serait pas possible de voir dans   n! / k! (n-k) ! l'ensemble comprenant le 0  (celui relatif aux axes ) et, dans  n! / (n-k) ! celui relatif au polynôme lui même dans ses limites intérieures , ce qui ne change rien au polynôme, puisque les limites extérieures sont infinis.

En admettant  que j'ai   n! / k! (n-k) !  j'en fais une symétrie j'ai :  n! / (n-k) ! si cette symétrie je lui adjoint le 0 cela devient   n! / k! (n-k) !  d'où     (  n! / k! (n-k) ! )    -    ( n! / (n-k) ! )    ---->  
(n+1) !  /  (n+1 - k) !     , la variation est l'augmentation de  (n)  qui passe en (n+1)  soit la  dérive de la puissance .

Donc d'une part , un polynôme ( une somme globale),  en ses parties groupées ( chaque somme) , est la conséquence d'une double dérive sur la puissance de ses variables.
D'autre part , chaque groupe ou chaque somme du polynôme est dérivable et sa dérive est une puissance de ( X-1) ou de X  suivant la l'indice de position du groupe dans le polynôme. Ce qui introduit un autre paramètre, l'indice du groupe , lequel est calculable puisque de 0 à n .
la Dérive interne au polynôme est la dérive de groupe à groupe suivant .

Or chaque groupe du polynôme de dérive, peut être exprime par une décomposition de facteur  fonction de X^puissance et   (X- 1)^puissance . Ces puissances sont fonction de l'indice du groupe et sont fonction de chacune des unités de chacun des axes.



 
 Note * l'application de la Régression Différentielle sur le polynôme en son entier apporte pour résultat des (n) dérives , la valeur de 1 , ce qui une observation qui peut présenter une intérêt  puisque la Régression Différentielle sur de mêmes puissances est la factorielle de la puissance. le 1 est ici :  la puissance 0 . Ce qui est bien X ^0  ou (X-1) ^0.

"Note * l'application de la Régression Différentielle sur le polynôme en son entier apporte pour résultat des (n) dérives , la valeur de 1 , ce qui une observation qui peut présenter une intérêt  puisque la Régression Différentielle sur de mêmes puissances est la factorielle de la puissance. le 1 est ici :  la puissance 0 . Ce qui est bien X ^0  ou (X-1) ^0.


A t il fallut calculer chacune des dérivées , non !!!

Simplement sommer le polynôme de degré (n) qui résulte :  soit,  les ( n) différentielles qui sont en chaque somme et formant le polynôme. C'est un calcul rapide qui justifie , la variation de la variable X    ----- >   en X-1 quelque soit le puissance de l'exposant .

Certes ce sont des observations, mais la démonstration  réside dans le combinatoire , cela est du simple calcul puisque la méthode est connue.

Ce qui est important est le fait d'avoir et pouvoir démontrer que les axes sont limites extérieures de la surface définie par une courbe. Cela sous tend  à donner une formulation exacte de l'intégrale. En effet, la surface sous la courbe est parfaitement délimitée, et surface de la courbe également. Si tout point sur la courbe est aussi dans les limites de la surface , alors à l'intégrale, il faut ajouter les points de la courbe.

La somme des différentielles est le polynôme différentiel qui transforme la variable élevé à une puissance donnée en une (variable - 1 ) de même puissance.

Ce polynôme est le même polynôme que le polynôme produit par  (X-Y)^n , sans les coefficients binomiaux . C'est à dire simple combinaison sur les indices puissance des variables ( X ) et ( X-1)

Il est donc possible d'égaliser  Y à (X-1) tenant compte que : son coefficient binomial et Y à sa puissance , correspondrait  à : (X-1) à la même puissance.

D'où  ( x-1) ^ 0 à n  (/) sur le coefficient correspondant  en dénominateur   soit :
 
pour   le cas  X ^ k  . Y ^(n-k)   --->   ((( X-1)^(n-k))   K! ( n-k) !     /   n! )   ( X) ^k          

( X-1)^(n-k)) et   K! ( n-k) !  étant au même plan   ( n-k )

il devient possible de transformer la factorielle en puissance suivant ce qui a déjà été écrit qui est un combinatoire entre la puissance et la factorielle.

Ce qui revient à avoir : une suite de (X-1) dégressive de (n-k) : un groupe de 1 facteur de plus .

Comment dénommer le polynôme différentiel suivant un autre expression le définissant avec plus de précision dans l’objectif. Ce qui me semble être approprié  est celui de " Transformée mathématique " .La définition donnée selon cette mathématique à ce terme est dores et déjà utilisé.  Dans l'explication de la Puissance et la Factorielle par le Combinatoire.

La  "Transformée mathématique", est la partie de courbe continue, qui entre deux points distant pris pour limite d'une même courbe, transforme l'un des deux points en l'autre point.

Admettant une courbe continue joignant deux espaces différents, la Transformée  de l'un des espaces en l’autre, est la forme  la dérivée interne de chacun des polynômes différentiels qui relient point à point et seulement point à point les deux espaces.

cela implique, que les deux espaces rejoints sont les limites d'un même référentiel, l'Espace des transformations.

En définissant la Transformée et l'Espace des transformations, ainsi que les dérivées internes au polynôme de chacune des transformée, prenant l'exemple précité de la Transformée Puissance factorielle ou son inverse Factorielle Puissance , l'espace de transformation, devient un plan, le   Combinatoire  1  limité de part et autre par le point de la courbe des puissances,  le point (0) et  , le point (0) de la courbe des factorielles .

Par  la Transformée , Puissance Factorielle ou son  inverse Factorielle Puissance , n'en est pas moins défini la verticalité de l'ensemble de la structure Tri-Orthogonale .

A aucun instant n'a été fait état d'un nombre quelconque auquel la Puissance par son exposant est appliquée à une donnée pour sa transformation en Factorielle.  cela signifie que la Transformée réversible de Puissance vers Factorielle ou inverse , inclus un paramètre : à donnée constante .

La Transformée  Puissance Factorielle ou son  inverse Factorielle Puissance est définissable à donnée constant . Cette même transformée est définissable à donnée variante ;  soit des Espaces de transformations parallèles entre eux pour chaque donnée , n'en est pas moins défini la multiplicité des verticalités de l'ensemble de la structure Tri-Orthogonale .

La relation qui existe entre deux plans contiguës de cet Espace de transformation  est la variation +1 ou -1 du constant paramètre du médian . L'indépendance du paramètre crée le lien de continuité et de fait son Espace de transformations .
Par inversion des paramètres les variants devenant des constants et inversement  le constant devenant variant , l'Espace de transformation devient  : l’espace des Nombres,   et leurs Transformées  combinatoire  à Puissance constante,  à factorielle constante;  soit :  un plan de liaison de la multiplicité des verticalité , par une multiplicité d"Horizontalité.

Ce qui n'en est pas moins défini l'horizontalité de l'ensemble de la structure Tri-Orthogonale .

Définition de la Structure Tri-Orthogonale :

La structure Tri-Orthogonale est l'ensemble des  Espaces de transformations de la Puissance en Factorielle de tous et pour tous les Nombres,  par le Combinatoire.

L'Espace Nombres et l'Espace Combinatoire, ne peuvent avoir de Transformée directe . La cause suivant cette mathématique inspirée , le Nombre est lui même inclus paramètre constant dans sa transformée, de fait indéfinissable rapport à lui même.

Si un nombre est indéfinissable rapport à lui même , à contrario deux Nombres sont définissable  l'un rapport à l'autre. Définissable par leur différence.

Cette définition par la différence implique que, la verticalité inhérente pour chaque Nombre est différente,  impliquant que toutes leurs parties combinatoires soient également toutes différentes.

C'est de fait, le couple indissociable " Nombre & Combinatoire"   qui est  l'une des limites d'une Transformé  d'Espace à Espace suivant un autre point ; l'autre limite étant alors le "Nombre sans combinatoire" .

Ce qui est défini et clairement établi :

- Un Espace de transformation  ayant pour limites, la Puissance et  la Factorielle de la puissance, et pour courbe de définition , la dérivée du combinatoire en un point de la courbe de dérivation continue.